Recherches relevant de la physique théorique

Ce rapport assez détaillé (21 pages de texte proprement dit, en Times 12), est composé de trois parties. Le plan de chacune d'entre elles suit l'ordre chronologique. Les références entre crochets renvoient à la liste des publications pertinentes, accessibles en ligne pour la plupart.

I. Construction d'une théorie scalaire de la gravitation avec un référentiel privilégié

1. Motivation
 
2. Mécanique classique avec des référentiels fluides

3. La gravitation comme une force de pression

4. Principe d'équivalence entre les effets métriques du mouvement et de la gravitation

 5. Deuxième loi de Newton dans un espace-temps courbe
 
6. Dynamique d'un milieu continu


II. Tests et nouvelles prévisions de la théorie
1. Collapse gravitationnel sphérique en chute libre

2. Effets gravitationnels sur les rayons lumineux

3. Création/destruction de matière dans un champ gravitationnel variable

4. Modèles homogènes d'univers et accélération de l'expansion

5. Schéma post-newtonien "asymptotique"

6. Mécanique céleste dans le système solaire
7. Schéma post-minkowskien "asymptotique" et rayonnement gravitationnel


III. Lien avec les autres interactions : électromagnétisme classique, mécanique quantique

1. Equations de Maxwell dans un champ de gravitation

2. Identité du mouvement des photons et du flux d'énergie électromagnétique dans le vide

3. Interprétation de la correspondance hamiltonien-opérateur d'ondes

4. Solutions "solitons" de l'équation de Schrödinger

 5. Equation d'ondes de Klein-Gordon dans un champ de gravitation






I. Construction d'une théorie scalaire de la gravitation avec un référentiel privilégié

I.1. Motivation

Les concepts théoriques d'éther partent de l'idée selon laquelle l'espace "vide" n'est pas réellement vide. Deux raisons de penser cela aujourd'hui sont: i) la propagation dans le vide des signaux électromagnétiques, dont le caractère ondulatoire est indéniable, et qui selon le sens commun devraient donc onduler dans quelque chose; ii) les effets physiques du vide prévus par la théorie quantique et confirmés par l'observation, tel l'effet Casimir. Mais nous apprenons à l'Université que le concept de l'éther comme porteur des ondes lumineuses (puis électromagnétiques), qui s'était imposé avec évidence pendant tout le 19ème siècle, a été ruiné par des expériences comme celle de Michelson-Morley, qui ont amené l'avènement de la relativité restreinte. Le bon sens devrait alors s'effacer devant le verdict expérimental. C'est donc une grande surprise d'apprendre l'existence d'une interprétation de la relativité restreinte qui, à la suite des travaux de Lorentz et Poincaré, et d'autres, considère que la transformation de Lorentz et tous les effets "relativistes" résultent en fait de la contraction "absolue" de Lorentz de tout objet qui se meut à travers l'"éther" ou référentiel d'inertie fondamental. Cette interprétation a été étudiée à fond par Prokhovnik (1967, 1985). Elle aboutit exactement aux mêmes équations et aux mêmes effets physiques que la version usuelle initiée par Einstein, mais conserve, en même temps que le concept d'éther de Lorentz, la notion de "temps vrai" chère à Poincaré - ce temps vrai n'est autre que le temps synchronisé du référentiel fondamental. Toutefois, précisément parce que cette version "Lorentz-Poincaré" de la relativité restreinte est observationnellement équivalente à la version "Einstein", le temps vrai et la vitesse absolue ne sont pas expérimentalement accessibles. On peut alors qualifier ces concepts de métaphysiques et rejeter l'éther comme "superflu" (überflüssig): c'était la position d'Einstein, au moins en 1905.

Mais nous savons maintenant que la relativité restreinte ne contient pas la gravitation. Dans la relativité générale, la présence du champ de gravitation enlève à la variété espace-temps la symétrie de Lorentz (globale) dont cette variété est munie en son absence, même si le principe de relativité y reste valable dans un sens plus large. On peut alors se demander s'il est possible d'aller plus loin et de construire une théorie dans laquelle la violation de la symétrie globale de Lorentz s'accompagnerait d'une violation effective du principe de relativité, rendant détectables un référentiel fondamental et son temps privilégié. La disponibilité d'une "foliation privilégiée de l'espace-temps", c'est-à-dire d'un référentiel privilégié, fournirait une nouvelle approche pour aborder les problèmes à l'interface entre théorie quantique et gravitation. En effet, la théorie quantique, parce qu'elle est fondée sur une généralisation de la mécanique hamiltonienne, a besoin d'une coordonnée de temps privilégiée. Dans le cas d'un espace-temps plat, le "temps inertiel" est privilégié (il s'agit du temps synchronisé, correspondant à la coordonnée de temps dans un système de coordonnées galiléen), et il n'est pas très grave que chaque référentiel d'inertie ait son temps inertiel, puisque la correspondance quantique conduit à des équations invariantes de Lorentz (ou du moins peut y conduire, ceci constituant alors une contrainte à imposer). Mais dans le cas d'un espace-temps courbé par la gravitation, il n'y a aucun moyen de distinguer une coordonnée de temps privilégiée, sauf dans des cas particuliers (cf. le cas où il existe un "temps cosmique"), et, de toutes façons, distinguer une telle coordonnée pour formuler la théorie quantique contredirait les principes de la relativité générale, et conduirait à des équations ayant une covariance plus faible. En revanche, ce procédé serait tout à fait admissible si l'on partait d'une théorie de la gravitation avec un référentiel privilégié. La difficulté est, bien sûr, de construire une telle théorie qui soit compatible avec les observations.


I.2. Mécanique classique avec des référentiels fluides [D11 , A8]

Si l'on veut réintroduire un concept d'éther, en prétendant notamment qu'un tel concept pourrait rapprocher la physique du sens commun, la première chose à faire est de montrer qu'un tel concept n'est pas grossièrement contradictoire avec celui-ci, c'est-à-dire qu'il faut indiquer comment l'éther peut être compatible avec la mécanique classique. D'une part, l'éther ne devrait opposer aucune résistance au mouvement des corps, ce qui suggère de le considérer comme un fluide parfait. Mais d'autre part, l'éther devrait être un référentiel d'inertie, en fait le référentiel d'inertie fondamental (ce qu'il est du reste dans la théorie de Lorentz-Poincaré), car autrement il faudrait postuler à la fois un "espace absolu" et un éther ayant un mouvement quelconque par rapport à celui-ci - dont il faudrait alors trouver la dynamique, outre le fait que cette double hypothèse semble bien lourde. Ainsi, dans le cadre de la mécanique classique au sens strict, dans laquelle les référentiels inertiels sont rigides, notre fluide parfait devrait être animé d'un mouvement parfaitement rigide! La réponse que je propose est que le caractère fluide de l'éther concerne l'échelle microscopique, tandis que sa rigidité intervient à une échelle très macroscopique: c'est le mouvement moyen du "micro-éther" fluide qui définirait le référentiel d'inertie fondamental.

Il est alors logique d'examiner si, malgré tout, d'autres mouvements macroscopiques sont permis. Autrement dit, on est amené à étudier si l'on peut généraliser la mécanique newtonienne au cas où les référentiels d'inertie sont déformables par rapport à la métrique euclidienne (celle-ci, dans le cadre d'une mécanique classique, s'identifie à la métrique physique indépendamment du référentiel, c'est-à-dire que les procédures de mesure des distances spatiales sont censées ne pas être influencées par le mouvement et rester compatibles avec l'hypothèse d'un espace euclidien). Ceci demande d'abord de pouvoir considérer des référentiels (inertiels ou non) qui soient déformables, c'est-à-dire "fluides", et donc de définir l'accélération d'une particule par rapport à un référentiel fluide, ainsi que d'étudier la transformation de l'accélération entre deux référentiels fluides. Le résultat de cette étude sur la généralisation de la mécanique classique est celui-ci: pourvu que le mouvement du "fluide inertiel" (par rapport à un référentiel rigide) soit irrotationnel, on peut en effet garder les trois lois de Newton. Mais si le fluide inertiel n'a pas un mouvement rigide, il apparaît dans un référentiel rigide des forces d'inertie d'un type nouveau. Comme application, j'ai étudié la stabilité d'un univers sans gravitation, dans le cas où un référentiel d'inertie est soit rigide, soit en expansion ou en contraction uniforme: seul le mouvement d'expansion serait stable. (Par raison de symétrie, la force de gravitation doit être nulle dans un univers homogène et isotrope.) Ceci permet de concilier de manière simple le phénomène d'expansion avec la mécanique (presque) classique - mais rappelons que la gravitation classique, i.e. newtonienne, ne s'étend au cas d'un univers homogène que si l'on accepte que la force de gravitation, non seulement n'y soit pas nulle, mais augmente avec la distance.

En fait, cette étude était partie d'une question différente : celle de la possibilité d'écrire la deuxième loi de Newton sous forme covariante (d'abord par changement de référentiel rigide, mais non galiléen), et j'étais arrivé au résultat que cette exigence de covariance conduit à l'égalité de la masse inertielle et de la masse gravitationnelle passive (sans l'imposer au départ, bien sûr).


I.3. La gravitation comme une force de pression  [D11 , A8]

La construction de la théorie commence par une interprétation de la gravitation, dans le cadre de la mécanique classique, comme la "poussée d'Archimède dans l'éther", qui s'exercerait à l'échelle des particules élémentaires. J'ai appris par la suite que la gravitation newtonienne avait été interprétée ainsi, et de façon relativement détaillée, par Euler. Dans mon étude, cette interprétation conduit à une généralisation de la gravitation newtonienne, et ce déjà dans le cadre de la mécanique classique, dès lors que l'on donne une compressibilité à l'éther. Mon interprétation est critiquable, notamment parce qu'il est très douteux que la mécanique classique s'applique à cette échelle. Mais une théorie est, somme toute, contenue dans ses équations finales, que l'on peut considérer de façon axiomatique. (Il est exclus de "démontrer les équations" d'une nouvelle théorie physique.) L'approche que je vais résumer ci-dessous n'est, dans cette optique, qu'un moyen de parvenir aux équations. Il y a d'ailleurs un autre moyen, phénoménologique, de parvenir à l'équation (1) ci-dessous, qui donne  l'accélération de la gravitation: voir plus bas. Néanmoins, je ne renie pas ce début et je vais l'exposer en quelque détail.

Un fluide "vraiment parfait", et donc exempt de tout effet thermique conduisant nécessairement à de la dissipation, est caractérisé par sa pression et sa densité, reliées par une équation d'état, et par sa vitesse. Il n'exerce que des forces de pression. Par conséquent, si l'on tente d'introduire un éther fluide parfait "remplissant le vide", toutes les forces d'interaction "à distance", et notamment la gravitation, devraient se ramener en dernier ressort à des forces de pression (et donc à des actions locales). En ce qui concerne la gravitation, c'est assez simple. Je suppose que les particules élémentaires sont des objets étendus dans l'espace. Pour que la  résultante des forces de pression sur une particule occupant un volume deltaV (la poussée d'Archimède) ne dépende que de la masse deltaM de la particule, il faut que la densité moyenne dans chaque particule, rho_p = deltaM/deltaV, soit la même pour toutes les particules (à un instant et en un point donnés). Toutefois, puisque l'attraction est un champ, la densité rho_p peut aussi être un champ, dont la variabilité ne peut être liée qu'à celle de la pression locale  pe du fluide. En fait, comme peuvent le suggérer les transformations de particules en d'autres particules, que l'on observe, je suppose que les particules élémentaires elles-même sont faites de ce "micro-éther", elles devraient être des sortes d'écoulements organisés dans ce fluide. (C'est l'idée de "l'éther constitutif" de Lucien Romani (1975).) Dans ce cas, la densité rho_p ne serait autre que la densité locale rho_e = rho_e( pe) du fluide. Sous ces hypothèses, l'accélération de la gravitation s'exprime comme

 g = - (grad pe)/rho_e.                        (1)

Notons que cette relation entraîne que la "pression d'éther" pe et sa densité rho_e  diminuent dans la direction de l'attraction. Puisque la gravitation ne subit des variations qu'à l'échelle macroscopique, les champs pe et rho_e  intervenant ci-dessus doivent être les champs macroscopiques, obtenus en moyennant dans l'espace les champs microscopiques. Ces derniers pourraient donc intervenir dans les autres interactions.

J'admets que la gravitation newtonienne correspond au cas limite d'un fluide incompressible, parce qu'elle se propage instantanément. En imposant que g donné par (1) obéisse à l'équation de Poisson lorsque rho_e est uniforme, on obtient une équation de champ reliant le laplacien Delta(pe) à la densité usuelle de matière, rho. Cette équation garde son sens dans le cas où, en raison de la compressibilité du fluide,  rho_e = rho_e( pe) n'est plus uniforme. Mais le champ (1) n'est alors plus le champ newtonien. Toutefois, avec une compressibilité, l'équation obtenue ne s'applique que dans le cas statique: dans le cas général, on s'attend à la présence d'ondes de pression, c'est-à-dire d'ondes de gravitation, se propageant à la vitesse du "son" dans l'éther,

ce = [dpe/d(rho_e)]1/2 .              (2)

C'est bien ce que je montre en adaptant le raisonnement classique qui aboutit à l'équation des ondes acoustiques, et en admettant notamment que l'éther est conservé et que le mouvement de l'éther par rapport à son référentiel moyen de repos obéit à la deuxième loi de Newton. (Le mouvement en question est le mouvement moyenné dans l'espace, puisqu'il en est ainsi des champs pe et rho_e, tandis que pour le référentiel moyen de repos il y a en plus une moyenne dans le temps [A28, Eq. (2)].)  J'obtiens ainsi, dans le cas général, une équation d'ondes de célérité variable ce pour le champ pe, avec comme second membre: 4 pi G rho rho_e, terme qui rend déjà la théorie non-linéaire. (G est la constante de la gravitation et pi le nombre usuel de la trigonométrie.) La solution statique sphérique tend vers la solution newtonienne pour les champs faibles et conduit, pour une particule d'épreuve suivant une perturbation d'orbite elliptique, à une avance de périhélie proportionnelle à celle obtenue avec la solution de Schwarzschild de la relativité générale.


I.4. Principe d'équivalence entre les effets métriques du mouvement et de la gravitation [D11 , A9 , A18]

La prise en compte de la relativité est plus facile, pour une théorie partant de la mécanique classique, si l'on se fonde sur la version "Lorentz-Poincaré" résumée au point I.1, qui considère la relativité restreinte comme la conséquence d'une contraction de Lorentz "absolue". On sait qu'en relativité générale (RG), un rôle crucial est joué par le principe d'équivalence, proposé par Einstein, entre les effets des forces d'inertie et des forces de gravitation. Au travers des exemples célèbres du disque tournant et de l'ascenseur, on peut se demander s'il ne s'agit pas surtout d'une relation entre les effets métriques du mouvement uniforme et de la gravitation, conduisant pour un champ faible à lier les effets métriques de la gravitation à la valeur locale du potentiel newtonien - et non à l'intensité locale de l'accélération gravitationnelle. Mais dans la version "Einstein" de la relativité restreinte, les effets métriques du mouvement uniforme ne sont qu'une "parallaxe dans l'espace-temps". On ne peut alors songer à déduire formellement les effets métriques de la gravitation, qui devraient quand même avoir un caractère absolu (même en RG, la présence ou l'absence d'un champ de gravitation, i.e. d'un tenseur de Riemann non nul, est absolue), de ceux du mouvement uniforme qui, selon la version "Einstein", sont entièrement relatifs, liés au référentiel choisi. En RG, le rôle majeur du principe d'équivalence est d'introduire l'idée essentielle de la RG, selon laquelle le champ de gravitation s'identifie à la présence de la courbure dans une variété espace-temps pseudo-riemannienne. Synge considérait que le principe d'équivalence n'avait justement eu qu'un rôle heuristique lors de la construction de la théorie, et rappelait qu'une fois posées les équations d'Einstein, il n'y a pas à y rajouter un tel principe.

Au contraire, dans une approche fondée sur un éther, rien n'interdit de déduire les effets absolus de la gravitation (les effets du champ de "pression d'éther" pe ou de "densité d'éther" rho_e = rho_e( pe)) de ceux du mouvement par rapport à l'éther. On y est même naturellement conduit si l'on remarque qu'en l'absence de gravitation, l'éther subirait, pour un observateur en mouvement, une variation "apparente" de densité, en raison de la contraction de Lorentz. Ceci amène à caractériser les effets métriques de la gravitation par une relation extraordinairement simple: par rapport à un mètre et une horloge situés loin des corps, où la densité est rho_e(infini), un mètre et une horloge situés dans le champ, où la densité est rho_e, subiraient respectivement un contraction dans le rapport

beta = rho_e / rho_e(infini) < 1                            (3)

(cf. Eq. (1)), et une dilatation de période, la période P devenant P/beta. Comme pour la contraction de Lorentz, je suppose que la contraction gravitationnelle n'aurait lieu que dans une seule direction, qui ne peut être que la direction commune du gradient de pression grad pe, du gradient de densité, et de l'attraction g. Formellement, la dilatation des distances mesurées, résultant de la contraction du mètre, a lieu par rapport à une métrique euclidienne abstraite, dont je suppose que l'éther macroscopique peut être muni (lorsqu'il est considéré comme le corps de référence, c'est-à-dire comme une variété différentielle de dimension 3, notée M). Ce corps de référence privilégié M est donc muni à la fois d'une métrique euclidienne g0 et d'une métrique riemannienne g, la relation entre les deux dépendant uniquement du champ  pe (ou, de manière équivalente, du champ rho_e). De même, les observateurs liés au référentiel privilégié E peuvent en principe utiliser soit le "temps absolu" T, celui qui serait mesuré par une horloge non affectée par le champ de gravitation, soit le "temps local" ou temps physique réellement mesuré par une horloge, tx (en un point x de M), la relation entre les deux étant donnée par

dtx /dT = beta(T, x).                                    (4)

(Un "référentiel", ici le référentiel privilégié E, est physiquement un corps de référence, ici M, avec en chaque point un "observateur" muni d'un mètre et d'une horloge; formellement, on peut le définir comme une classe d'équivalence de systèmes de coordonnées sur l'espace-temps [A16].) Le référentiel privilégié est supposé "globalement synchronisé", ce qui se traduit par le fait que, dans un système de coordonnées d'espace-temps (xµ) lié à E et tel que x0 soit une fonction de T  seul, les composantes gamma_0i (i = 1,2,3) de la métrique physique d'espace-temps gamma sont nulles. Dans de telles coordonnées, (4) signifie que gamma_00 = beta^2. La partie spatiale de gamma dans le référentiel E est la métrique riemannienne g. Ceci fixe la relation entre gamma et la métrique plate gamma^0 obtenue à partir de la métrique euclidienne g0 et du temps absolu T.

La relativité restreinte reste ainsi valable localement, déjà parce qu'on vient de munir l'espace-temps d'une métrique lorentzienne reliée de la façon standard aux mesures physiques, et aussi parce que la dynamique postulée au point I.5 impose la vitesse limite c (évaluée avec cette métrique physique affectée par le champ de gravitation) pour les particules de matière. Mais puisque, d'un autre côté, l'interprétation heuristique de ces mêmes particules comme des écoulements organisés dans le fluide "éther" impose que leur vitesse ne puisse dépasser celle du "son"  (2), celle-ci doit être toujours et partout égale à c, ce qui signifie que

pe = c2 rho_e.                             (5)

En réinterprétant l'équation du champ pe comme valable en termes de la métrique physique, j'obtiens l'équation

Delta_g (pe) -(1/c2) (d-rond 2 pe/ d-rond tx 2) = 4 pi G sigma rho_e,                     (6)

où Delta_g est le laplacien défini avec la métrique spatiale riemannienne g, où

d-rond  / d-rond tx = (1/beta) d-rond  / d-rond T ,          (7)

et où sigma est la densité de masse-énergie des corps matériels et champs non-gravitationnels, prise dans le référentiel privilégié. (En fait ceci est un peu ambigü; l'ambiguïté sera levée plus bas.) La solution statique sphérique de l'équation (6) donne pour gamma la métrique de Schwarzschild extérieure, mais la métrique intérieure n'est pas celle de Schwarzschild. De plus, le champ g est exactement le champ newtonien. En utilisant la forme de la métrique, on peut réécrire l'équation de champ (6) sous la forme

Delta( f ) -(1/c2)[(1/f )(d-rond  / d-rond T)]2 f = 8 pi G sigma /c2,    f  :=  beta^2 = (gamma_00)E,        (8)

(où Delta est le laplacien "plat"), pourvu qu'on néglige la variation temporelle de pe(infini) [A15]. Ceci est légitime, sauf sur des échelles de temps cosmologiques - comme le confirme l'étude des modèles cosmologiques homogènes.


I.5. Deuxième loi de Newton dans un espace-temps courbe [D11 , A9 , A15 , A16]

Pour une particule d'épreuve en relativité restreinte, il existe une extension de la deuxième loi de Newton, proposée par Planck, et qui consiste à prendre en compte la dépendance de la masse inertielle avec la vitesse dans la définition de la quantité de mouvement P. Cette dynamique peut elle-même être étendue sans grande difficulté en RG, dans le cas d'un champ de gravitation constant, comme l'ont montré par exemple Landau et Lifchitz. On utilise pour ceci la "dérivée absolue" des ouvrages classiques de calcul tensoriel (par ex. Brillouin ou Lichnerowicz), obtenue à partir de la dérivée covariante. En fait, Landau et Lifchitz ont réécrit les composantes spatiales, dans un référentiel donné, de l'équation des géodésiques de la métrique d'espace-temps, en définissant la dérivée temporelle de P comme la dérivée absolue correspondant à la métrique spatiale du référentiel considéré, et en prenant pour cela comme paramètre temporel le "temps propre" (non de la particule, mais de l'observateur momentanément coïncidant avec elle, donc ce que j'appelle le temps local) synchronisé. La vitesse v elle-même, intervenant dans la définition de P, est le vecteur tangent à la trajectoire, celle-ci étant paramétrée avec ce même temps local synchronisé. La force (purement gravitationnelle, pour une particule "libre") est alors simplement ce qui reste au deuxième membre dans les composantes spatiales de l'équation géodésique.

Lorsque j'ai cherché à définir la dynamique dans la théorie étudiée, je suis parti en sens inverse: la force gravitationnelle ne pouvait être que le produit de la masse inertielle relativiste m(v) par l'attraction g (la vitesse v étant évaluée avec les étalons locaux), la quantité de mouvement ne pouvait être que m(v)v (ceci comme pour Landau et Lifchitz, donc), et j'ai voulu définir de manière cohérente la dérivée temporelle de ce 3-vecteur dans l'espace tridimensionnel M muni de la métrique riemannienne g. Constatant que, dans le cas général d'un champ de gravitation variable, la dépendance temporelle de g signifie qu'il y a sur M non pas une métrique mais une famille à un paramètre de métriques, j'ai d'abord pensé qu'il fallait se restreindre au cas d'un champ de gravitation constant. J'ai démontré que, dans le cas d'une métrique fixe g, l'emploi de la dérivée absolue est nécessaire si l'on impose les conditions que la règle de Leibniz s'applique à un produit scalaire et que la dérivée s'annule pour tout vecteur obtenu par transport parallèle [A9, App. 1]. La dynamique d'une particule d'épreuve était ainsi fixée dans le cas considéré d'un champ de gravitation constant, et j'ai aussi démontré qu'avec la métrique g et le champ g que je postulais, cette dynamique (trois équations scalaires) entraîne le mouvement selon les géodésiques de gamma (quatre équations scalaires) [A9, App. 2]. Peu après, j'ai étendu le résultat au cas des photons, dont la dynamique était elle aussi définie (toujours pour un champ constant) par cette "deuxième loi de Newton étendue", en remplaçant m(v) par h nu /c2 [A18, §6]. Par induction, je supposais à ce moment que, dans le cas général (où il me semblait alors impossible de définir la deuxième loi de Newton), le mouvement des particules libres suit encore les géodésiques.

Plus tard [A15], j'ai vu que l'on peut définir de façon naturelle, non une dérivée mais a priori une famille D_lambda de dérivées "temporelles" pour un vecteur u(t) dans une variété M munie d'une famille (gt) de métriques; et qu'en imposant encore la règle de Leibniz pour la dérivation d'un produit scalaire gt(u(t),v(t)), le paramètre lambda se trouve fixé à 1/2. Mais cette valeur de lambda est incompatible avec le mouvement géodésique (compte-tenu de la forme postulée pour l'attraction g et pour la métrique gamma). Il y avait donc une bifurcation dans la théorie étudiée: fallait-il préférer le mouvement géodésique ou la deuxième loi de Newton (cohérente, donc incluant une dérivée temporelle obéissant à la règle de Leibniz)? Pour décider cela, j'ai étudié l'équation de l'énergie d'une particule libre soumise à la dynamique obtenue en définissant la deuxième loi de Newton avec la dérivée D_lambda pour la quantité de mouvement. J'ai obtenu ainsi une équation de l'énergie pour chaque valeur de lambda. J'ai alors considéré de la "poussière", c'est-à-dire un milieu continu formé de particules massives non-interagissantes, dont chacune conserve sa masse-au-repos. On peut donc appliquer à chacune de ces particules la deuxième loi de Newton étendue, ainsi la dynamique de la poussière se déduit de celle d'une particule d'épreuve. En introduisant le tenseur d'énergie-impulsion T de la poussière, l'équation de l'énergie des particules constitutives donne une équation de l'énergie pour ce tenseur, dont le premier membre est la composante "temps" de la 4-divergence de T par rapport à la métrique plate. En utilisant l'équation de champ (6), on peut réécrire aussi le deuxième membre comme une 4-divergence plate, et donc obtenir une (véritable) équation de conservation de l'énergie, si et seulement si l'on fixe que la source sigma du champ de gravitation est la composante T00 (et non T00 ou T00), et l'on admet que lambda = 1/2. (Signalons que T est pris en unités de masse.) Par conséquent, dans cette théorie, il faut choisir la deuxième loi de Newton. Le mouvement géodésique n'est retrouvé que dans le cas particulier d'un champ de gravitation constant.

Ensuite [A16], je me suis posé la question de la deuxième loi de Newton dans le cadre général des théories de la gravitation dans un espace-temps courbe, toujours en considérant un référentiel donné, mais quelconque. Revenant d'abord sur la définition de la dérivée temporelle d'un vecteur dans une variété (en l'occurrence la section spatiale fixée par le choix du référentiel) munie d'une famille de métriques, j'ai montré que la définition que j'avais obtenue (D_1/2) s'impose si l'on admet, en plus de quelques conditions algébriques évidentes, que la règle de Leibniz doit s'appliquer et que la dérivée doit se réduire à la dérivée absolue dans le cas d'un famille constante. Puis j'ai cherché quelle pouvait être la forme de la force de gravitation, en me limitant dès lors au cas d'un référentiel "globalement synchronisé" (gamma_0i = 0). Je l'ai écrite sous la forme m(v)g et j'ai obtenu deux résultats: i) Si l'on exige que le 3-vecteur g ne dépende pas de la variation temporelle de la métrique d'espace-temps gamma et soit linéaire par rapport à la variation spatiale de celle-ci, et que le mouvement suive les géodésiques de gamma dans le cas statique, alors le vecteur g a exactement la forme que je postule (Eq. (1) compte-tenu de (4) et (5)), i.e.

g = - c2 (grad beta)/beta,                         beta := racine de gamma_00.                (9)

ii) Si l'on exige que le mouvement suive (toujours) les géodésiques de gamma, alors la forme de g est également fixée, c'est la somme du deuxième membre de (9)1 et d'un terme linéaire en la vitesse v de la particule d'épreuve, dépendant de la dérivée temporelle de la métrique spatiale.
        L'article [A16] se termine par une étude comparative avec la littérature, notamment avec la revue de Jantzen et al. (1992), citée dans [A16]. Les "dérivées de Fermi-Walker" (fw) font intervenir toute la métrique d'espace-temps d'une façon en général irréductible, contrairement à la dérivée D_1/2. La question de la validité de la règle de Leibniz ne semble pas avoir été étudiée; les dérivées fw y satisfont, mais pas la "dérivée de Lie" utilisée par Jantzen et al. (laquelle est en fait la projection d'une dérivée de Lie au sens usuel), non plus que la dérivée introduite par Moeller. Enfin, le mouvement géodésique étant un axiome indiscuté dans cette littérature, on n'y en donne pas de caractérisation.


I.6. Dynamique d'un milieu continu  [A20]

En considérant d'abord de la "poussière", j'avais déjà obtenu une équation de l'énergie pour un milieu continu, exprimée en fonction de son tenseur d'énergie-impulsion T, et je l'avais supposée rester valide pour tout milieu continu. Il restait à obtenir les composantes spatiales de l'équation qui doit s'appliquer à un tel milieu. Pour cela, j'ai calculé la 4-accélération A d'une particule d'épreuve soumise à la deuxième loi de Newton étendue.  Le 4-vecteur A dépend quadratiquement de la 4-vitesse U. (Comme souvent dans la théorie étudiée, il s'agit d'une relation valable dans des coordonnées liées au référentiel privilégié.) En considérant à nouveau de la poussière, on en déduit l'équation

T mu nu ; nu = bmu ,          b0 := g jk,0 T jk/2,           bi := -g ik,0 T 0k/2,           (10)

qui remplace, dans cette théorie, l'équation T mu nu ; nu = 0 de la RG et des autres théories métriques de la gravitation. Là encore, je suppose que l'équation (10)1 reste valide, avec la définition (10)2-3, pour un milieu continu quelconque. La composante mu = 0 de l'équation (10)1 est équivalente à l'équation de l'énergie précédemment obtenue. De plus, pour une poussière, donnée par son tenseur Tmu nu = rho* Umu Unu (où rho* est la densité propre de masse-au-repos), cette équation entraîne la conservation de la masse et l'expression de la 4-accélération, donc elle caractérise effectivement la dynamique de la poussière.



II. Tests et nouvelles prévisions de la théorie

Ayant trouvé très tôt que la solution statique sphérique de la théorie étudiée donne la métrique extérieure de Schwarzschild (avec le mouvement géodésique associé), la théorie me semblait susceptible de se confronter favorablement aux observations. Pour en savoir plus,  il était nécessaire de construire un formalisme "post-newtonien", notamment pour évaluer les effets de référentiel privilégié, et je me suis rapidement rendu compte que c'était là une tâche de longue haleine. J'ai donc aussi regardé si d'autres problèmes étaient plus simples.


II.1. Collapse gravitationnel sphérique en chute libre [A18]

Une première étude du problème du collapse gravitationnel "en chute libre" avec symétrie sphérique peut être faite facilement dans cette théorie. On sait qu'en RG, cette situation conduit à la formation d'un singularité ponctuelle, et qu'en fait l'hypothèse de symétrie sphérique n'est pas en cause, cette difficulté étant générique. L'hypothèse de "chute libre" signifie qu'on suppose que le corps étudié est une poussière. Même en gravitation newtonienne, un tel comportement conduit à l'écrasement dans une singularité. Mais on sait aussi qu'en RG cette hypothèse non plus n'est pas essentielle: on considère qu'un comportement plus réaliste, incluant une pression fluide, donnerait lieu à un écrasement encore plus rapide dans une singularité - parce qu'en RG la pression contribue à accroître le champ de gravitation. Ceci étant vrai également dans la théorie étudiée (puisque la source sigma du champ de gravitation est la composante T00 du tenseur énergie-impulsion, dans le référentiel priviégié E), on peut aussi s'y limiter au cas d'une poussière, au moins pour une première étude.

De plus, l'idée de l'éther constitutif, jointe à l'expression (1) de l'accélération de la gravité et à la définition du référentiel privilégié par le mouvement moyen de cet éther constitutif, contraignent (dans le cadre de cette heuristique) à admettre que, lorsque l'implosion a mené à une densité très élevée, le corps en implosion devient cinématiquement lié au référentiel privilégié.
[En effet, en vertu de l'expression (1), la densité de l'éther devrait diminuer vers le centre local d'attraction; l'hypothèse que les particules de matière ne seraient autres que des écoulements plus ou moins localisés dans le fluide "micro-éther" entraîne alors que les particules devraient occuper plus de place dans une zone où règne un champ de gravitation; donc, si la densité du corps (le nombre de particules par unité de volume) augmente indéfiniment, il est inéluctable que les particules finissent par occuper tout le volume d'éther correspondant au corps; dès lors le mouvement macroscopique de ce volume d'éther coïncide avec le mouvement moyen de ces particules.]

L'étude du collapse sphérique en chute libre est donc faite sous l'hypothèse supplémentaire que le corps massif en implosion a un mouvement lié à celui du corps de référence privilégié M: l'implosion signifie que le rayon du corps massif diminue, tel qu'il est évalué avec la métrique physique d'espace g dans le référentiel  E (laquelle varie avec le temps). Sous ces hypothèses, l'étude du collapse est analytique et conduit aux résultats suivants: i) ces conditions excluent que l'on parte d'une situation statique; autrement dit, la situation de collapse considérée doit être précédée par une phase plus complexe de réarrangement; ii) la densité du corps massif est nécessairement uniforme pendant ce stade; iii) le rayon du corps massif, évalué avec la métrique g, passe par un minimum. Autrement dit, à partir d'un certain stade, l'implosion se transforme en explosion, par conséquent il ne peut y avoir de singularité.


II.2. Effets gravitationnels sur les rayons lumineux [A19]

Pour tester la théorie étudiée, j'ai construit, pour des corps étendus, un schéma d'approximation applicable aux champs faibles et lentement variables, donc un schéma "post-newtonien" (PN). Ce schéma diffère du schéma "standard" utilisé par Fock et Chandrasekhar sur un point: dans le schéma que j'utilise, tous les champs (champ gravitationnel et champs "matière") sont développés par rapport au petit paramètre epsilon = (Umax/c2)1/2, où U est le potentiel newtonien. (Dans le schéma standard, les champs "matière" - pour un fluide parfait: pression, densité, vitesse - ne sont pas développés.) Les vitesses orbitales sont alors de l'ordre de c.epsilon, ce qui entraîne en fait l'hypothèse énoncée sur la variabilité lente des champs. On traduit celle-ci en admettant que les dérivées partielles temporelles des champs sont d'un ordre plus élevé par rapport à epsilon que les dérivées spatiales correspondantes. La pratique de ce schéma revient exactement à écrire des développements de Taylor par rapport à 1/c2, en considérant x' 0 :=  t, et non x0 :=  ct , comme variable temporelle, et en admettant que les champs sont d'ordre 0 par rapport à 1/c2. Une explication partielle de ce procédé consiste à dire qu'on  choisit des unités telles que Umax = 1, mais j'ai par la suite trouvé une justification plus complète de ce schéma qui coïncide avec le schéma standard utilisé en RG  (à la différence près mentionnée plus haut; de plus, cette justification ajoute un élément essentiel: des conditions initiales). Pour une théorie à référentiel privilégié, il faut en plus admettre que la vitesse absolue du centre de masse du système gravitant est, elle aussi, au plus de l'ordre de c.epsilon. C'est tout à fait compatible avec les ordres de grandeur pertinents.

J'ai appliqué ce schéma pour évaluer les effets de référentiel privilégiés à la première approximation PN (i.e. la deuxième itération du schéma PN, la première itération étant l'approximation newtonienne) et ceci pour les rayons lumineux, considérés comme des photons soumis à l'extension de la deuxième loi de Newton. Dans ce but, j'ai d'abord écrit les développements "1PN " de la métrique et de l'équation de champ, puis de l'équation de mouvement du photon. (Dans l'équation de mouvement d'une particule d'épreuve, sa position et sa vitesse sont les seules variables dynamiques; il est alors indifférent, à des artefacts numériques près, de les développer ou non par rapport au petit paramètre [A29].) Cette équation de mouvement 1PN se trouve être identique au développement 1PN de l'équation d'une géodésique isotrope de la métrique d'espace-temps gamma. Il ne restait alors qu'à évaluer les termes pertinents de la métrique dans le référentiel lié au centre de masse du système, ce que j'ai fait par transformation de Lorentz (relative à la métrique plate gamma^0) de la métrique gamma, compte-tenu du développement 1PN de celle-ci dans le référentiel E. Lorsque le système se réduit à un corps massif unique à symétrie sphérique (ce qui est l'hypothèse faite pour calculer les effets sur les rayons lumineux en RG), les termes pertinents sont les mêmes que ceux du développement de la métrique de Schwarzschild. Ainsi, il n'y a pas d'effet de référentiel privilégié sur les rayons lumineux à la première approximation PN, et les effets prévus sont les mêmes qu'en RG.


II.3. Création/destruction de matière dans un champ gravitationnel variable [A20]

Dans une théorie "relativiste" de la gravitation, incluant donc l'équivalence masse-énergie, on peut s'attendre à ce que la masse-au-repos ne soit pas conservée - puisque c'est déjà le cas en relativité restreinte, où les collisions de particules ne conservent pas la somme des masses-au-repos, conformément à ce qui est observé en physique des particules - et, plus précisément, on pourrait s'attendre à ce que de la matière puisse être créée ou détruite par un échange avec l'énergie gravitationnelle, dans le cas d'un champ gravitationnel variable. Pourtant, en RG et dans les autres théories métriques, l'équation dynamique Tmunu;nu = 0 entraîne, pour un fluide parfait isentropique, que la masse-au-repos d'un milieu continu est conservée exactement. Ceci a été démontré par Chandrasekhar (1969).

En adaptant son raisonnement, j'ai montré qu'il n'en est pas de même dans la théorie étudiée: selon celle-ci, il y aurait bel et bien création ou destruction de matière dans un champ gravitationnel variable pour un fluide parfait isentropique, le taux de création/ destruction ^rho étant proportionnel à la pression p du fluide et à la vitesse logarithmique de la variation du champ gravitationnel. Ceci vient de l'équation dynamique différente qui s'y applique. Plus profondément, cela résulte de la véritable conservation locale de l'énergie (matérielle plus gravitationnelle) qui a lieu dans cette théorie: la conservation exacte de l'énergie et de la masse-au-repos sont, en général, incompatibles - sauf dans le cas d'une poussière. Pour un champ faible, on trouve que

^rho = (p/c4) d-rond U / d-rond T,               (11)

la dérivée temporelle du potentiel newtonien étant prise dans le référentiel privilégié et faisant donc intervenir la "vitesse absolue" du corps. Pour les vitesses auxquelles on s'attend (de l'ordre de 10-3c au maximum), on trouve que le taux relatif  ^rho/rho serait au maximum de l'ordre de 10-23s-1 près de la surface de la Terre (et de moyenne presque nulle en raison de la rotation terrestre), ce qui semble suffisamment faible pour ne pas avoir été détecté. Mais les taux seraient bien plus élevés dans des objets massifs, et déjà à l'intérieur du Soleil.

Le raisonnement fait ne se limite pas au cas d'un fluide parfait isentropique, mais considère d'abord un fluide parfait quelconque, pouvant décrire phénoménologiquement une production d'entropie due à des processus dissipatifs (bien qu'un fluide "vraiment parfait" doive en être exempt). Toutefois, dans le cas où la masse-au-repos n'est pas conservée, il existe une ambiguïté concernant la formulation du deuxième principe de la thermodynamique. Si l'on considère que l'entropie deltaS d'un élément de volume fluide suivi dans son mouvement est sigma.deltaM, avec deltaM la masse-au-repos (variable) de l'élément et sigma une entropie spécifique, qui sera par définition conservée pour un processus adiabatique, alors la création de masse fait par elle-même augmenter l'entropie, et le deuxième principe (appliqué à un processus adiabatique) interdit la destruction de masse. Mais avec cette formulation du deuxième principe, il est licite que sigma décroisse (pourvu qu'il y ait un taux de création suffisant), ce qui signifie que la thermodynamique usuelle ne s'applique pas: on pourrait retirer de la chaleur d'une source froide si, en même temps, de la matière était produite. J'ai donc donné une formulation différente, qui interdit ceci mais qui permet une production/ destruction réversible de masse-au-repos - comme ce serait le cas dans ma théorie.


II.4. Modèles homogènes d'univers et accélération de l'expansion [A28 , B20]

Dans la théorie étudiée, on postule une contraction gravitationnelle des corps. Celle-ci caractérise, à un instant T donné, la relation entre les deux métriques spatiales sur le corps de référence privilégié M: la métrique euclidienne g0 qui rend M rigide, et la métrique physique riemannienne g. Il est donc naturel, et même nécessaire, de compléter cette relation entre les deux métriques en introduisant un facteur d'échelle R(T) qui laisse à cette relation la possibilité de dépendre du temps T. On trouve en effet que, par suite de la conservation de l'éther, qui joue un rôle crucial dans l'établissement de l'équation de champ, le facteur R(T) est déterminé par le champ rho_e, et dépend effectivement du temps. L'éther ne serait donc pas conservé si l'on omettait le facteur R(T). Lorsqu'il y a "expansion" au sens classique, i.e. quand R(T) augmente, cela signifie qu'il y a une contraction "cosmologique" des objets, par rapport à la métrique euclidienne invariable g0. Par analogie avec les cas du mouvement uniforme et du champ gravitationnel pur, il est alors naturel de laisser aussi la possibilité d'une dilatation temporelle "cosmologique", ce que je fais en introduisant un exposant n (n = 0 si cette dilatation temporelle n'a pas lieu).

Ce qui précède concerne le cas général d'un univers hétérogène, tel qu'il se présente réellement. (L'hétérogénéité de l'univers, évaluée par ce que nous savons des variations spatiales de la densité macroscopique, est extrême.) Dans la théorie étudiée, le principe cosmologique peut être formulé sous une forme assez économe: pour que la géométrie définie par la métrique g soit homogène, il faut et il suffit que le champ pe ne dépende que du temps T (donc pe = pe(infini)), ce qui entraîne que l'espace (M,g) est aussi isotrope - car g est alors la métrique euclidienne, au facteur R(T) près. Cela entraîne également que le champ d'attraction g est nul. La métrique physique d'espace-temps, exprimée en fonction du temps physique local tx, qui devient ici un temps cosmique uniforme tau, est alors la métrique de Robertson-Walker correspondant au cas à courbure spatiale nulle. En étendant à la matière l'hypothèse d'homogénéité, l'équation de champ (6) se met sous la forme d'une "équation de Friedmann" valable indépendamment de toute hypothèse sur le comportement de la matière. Cette équation entraîne que l'expansion cosmique est nécessairement accélérée selon cette théorie. Ceci est indépendant aussi de toute hypothèse sur l'existence d'une dilatation temporelle "cosmologique".

Les composantes spatiales de l'équation dynamique (10) se ramènent à une conservation de la quantité de mouvement dans cet univers homogène en expansion (ou en contraction), et la composante temporelle, à la conservation de l'énergie. En utilisant cette dernière, l'équation de champ se réduit à une équation différentielle pour la densité d'énergie epsilon, dépendant d'un seul paramètre (l'exposant réel n), et admettant une solution analytique pour tout n. Il y a trois scénarios possibles: i) expansion seule, la densité tendant vers l'infini quand tau tend vers moins l'infini; ii) un cycle contraction-expansion avec un rebond à une densité finie; iii) une infinité de tels cycles, non nécessairement identiques - ce dernier scénario est le plus acceptable physiquement, car les deux autres impliquent une "fin des temps" tau_fin, après laquelle la théorie ne peut plus rien dire. Dans tous les cas, les phases d'expansion (accélérée) se terminent par une dilution infinie ayant lieu en un temps (cosmique) fini. Dans les scénarios ii) et iii), la densité maximale epsilon_max atteinte dans la phase de contraction, précédant l'expansion que nous observons actuellement, n'est pas déterminée par la connaissance de la densité et de la constante de Hubble actuelles (il faudrait connaître aussi le paramètre de décélération q). Si l'on observe bien des rougissements "cosmologiques" à z = 4, cela implique qu'epsilon_max doit être au moins cent fois supérieur à la densité actuelle, ce qui entraîne que le temps écoulé depuis epsilon_max est au moins égal à plusieurs centaines de milliards d'années. L'échelle de temps est donc très grande dans cette cosmologie. (Cela confirme que la variation temporelle de pe(infini) peut être négligée, par exemple, en mécanique céleste.)


II.5. Schéma post-newtonien "asymptotique" [A23 , A25-26 , A32 , A33 , B16 , B18 , B22 , B23]

i) Définition du schéma [B18 , B16 , A23]

En étudiant les effets de la gravitation sur les rayons lumineux, j'avais ébauché un schéma d'approximation similaire (à une différence près) au schéma PN standard utilisé en RG, mais le sens général de ce schéma restait assez obscur. Cette obscurité s'épaississait lorsque j'essayais d'étudier des effets de rayonnement gravitationnel - dans ce cas, en effet, il fallait considérer, non plus x' 0 :=  t, mais x0 :=  ct, comme variable temporelle, de façon à se retrouver avec un d'alembertien au lieu d'un laplacien. Pour essayer de construire un schéma asymptotique cohérent, donc incluant un petit paramètre que l'on puisse vraiment faire tendre vers 0, j'ai cherché à définir une famille (S_epsilon) de systèmes de corps massifs constitués de fluides parfaits, indexée par le paramètre de force-de-champ classique epsilon, et qui justifie vraiment le procédé de développement par rapport à 1/c [B18]. (L'hypothèse de fluides parfaits n'est pas contraignante en pratique, et pourrait facilement être levée, au prix de refaire les calculs. Mais je considère qu'il faut se donner une loi d'état, de façon à disposer d'un système clos d'équations.)

Puisque le potentiel newtonien, U = GM/r pour un corps sphérique, est par définition en epsilon^2, on est conduit à admettre, bien sûr, que le champ de vitesses u est en epsilon (cf. une orbite circulaire); et, souhaitant que les dimensions spatiales soient du même ordre de grandeur pour tous les membres de la famille, i.e. soient d'ordre 0 en epsilon, on est conduit à admettre que les masses Mi et le champ de densité rho sont en epsilon^2. Alors, en changeant les unités de temps et de masse pour le système S_epsilon: [T]_epsilon = [T]/epsilon, [M]_epsilon = [M].epsilon^2, les champs U, rho, et u, deviennent déjà d'ordre 0, et le petit paramètre epsilon devient proportionnel à 1/c (avec c évalué dans les nouvelles unités). Pour que le champ de pression p soit aussi d'ordre 0 dans les nouvelles unités, et avec une loi d'état indépendante de epsilon dans les nouvelles unités, il faut qu'en fait (en unités invariables) p soit en epsilon^4 (et donc que la loi d'état dépende de epsilon). Je me suis ensuite aperçu [A23] qu'en partant d'un système de champs U, rho, p, et u obéissant aux équations newtoniennes (équations d'Euler-Poisson), et en leur appliquant cette transformation, on obtenait une famille de solutions exactes de ces mêmes équations (comme la vitesse est en epsilon, il faut intégrer dans cette définition le fait que les temps caractéristiques sont en 1/epsilon). On a ainsi la limite "champs faibles" de la théorie newtonienne, qui est donc triviale: dans les unités variables, les champs sont indépendants du petit paramètre.

Cette transformation de similarité exacte n'a évidemment pas lieu dans la théorie étudiée, car les équations y sont compliquées par la présence de la métrique, qui dépend du champ de gravitation. Mais une famille de systèmes est en fait une famille de (solutions de) problèmes aux limites pour les équations concernées. Or l'équation de champ (8) est hyperbolique, et le problème aux limites naturel est le problème aux conditions initiales [A23]. La définition de la limite newtonienne de la théorie semble alors s'imposer: on applique la transformation de similarité newtonienne aux conditions initiales. Les champs "matière" sont en effet communs, à de petites adaptations près, à la théorie newtonienne et à une théorie "relativiste" telle que celle-ci. Il reste à définir l'équivalent du potentiel newtonien, mais c'est assez évident dans cette théorie scalaire. La limite newtonienne d'une théorie "relativiste" doit imposer à la métrique de tendre vers la métrique plate lorsque epsilon tend vers 0. On trouve alors que, pour cette théorie, le champ

V := c2(1-f )/2                         (12)

est un équivalent naturel du potentiel newtonien. Dans les unités dépendant de epsilon introduites, tous les champs pertinents sont d'ordre 0 (à l'instant initial, et donc dans son voisinage), de plus epsilon est proportionnel à 1/c; or seul 1/c2 intervient dans les équations, donc je postule des développements de Taylor en 1/c2 (au moins jusqu'à un certain ordre: en fait je n'ai étudié que le premier ordre; il existe aussi des arguments de réversibilité pour justifier cette parité). Dans ce schéma PN "asymptotique", il est important d'écrire les développements des conditions initiales.

Après avoir construit ce schéma, j'ai appris qu'en RG un schéma du même type avait été proposé par Futamase et Schutz (1983) (F&S). Dans mon schéma, on part d'un système auto-gravitant à support (spatial) compact très général, tandis que la condition initiale posée par F&S pour la métrique spatiale et sa dérivée temporelle est très particulière; ceci est lié au fait qu'en RG, la donnée justement de ces conditions initiales-ci doit satisfaire quatre "équations de contrainte" non-linéaires (qui sont les composantes temps-temps et temps-espace des équations d'Einstein). Il pourrait donc se révéler difficile de développer un schéma "asymptotique" assez général en RG. Le changement d'unités, justifiant les développements formels en 1/c2, ne figure pas dans F&S. Enfin, leur schéma n'est pas comparé de manière précise avec le schéma PN "standard", consistant à développer le champ gravitationnel, mais pas les champs "matière", selon 1/c2. J'ai montré, pour la théorie scalaire, que le schéma standard est incompatible avec cette interprétation asymptotique des développements en 1/c2 [A23, B22].

ii) Equations de mouvement des centres de masse (EMCM) [A25-26 , A32 , B22]

Dans une théorie relativiste, toutes les formes d'énergie doivent à la fois contribuer au champ de gravitation et être soumises à son action. Il n'est donc pas évident de décider quelle densité doit être utilisée pour définir un centre de masse pertinent. Deux arguments me conduisent à faire le choix de la densité de masse-au-repos rho (prise dans le référentiel privilégié): a) cette densité obéit à l'équation de continuité usuelle, au moins à l'approximation 1PN, ce qui permet de commuter dérivation temporelle et barycentration; b) la masse-au-repos se relie bien aux observations astronomiques, puisque c'est bien la présence de matière au sens usuel, et donc caractérisée par rho, qui conduit à l'émission électromagnétique localisée par le télescope. En ajoutant à rho de la masse-énergie cinétique et potentielle (comme cela est fait dans la littérature sur la RG), on perd le critère a) et l'on s'éloigne du critère b), mais les équations finales peuvent être plus simples. Les EMCM s'obtiennent en intégrant dans le volume de chaque corps les composantes spatiales des équations locales de mouvement de l'approximation 1PN. Dans le schéma "asymptotique" que j'utilise, ces équations locales se séparent en équations exactes d'ordre 0 et 1 (en identifiant les puissances du petit paramètre 1/c2), ce qui n'a pas lieu dans le schéma standard [A23, B22]. Il en est donc de même pour les EMCM [A25], qui ont ainsi une structure fort différente dans les deux schémas. En particulier, les EMCM pour les corrections 1PN (équations d'ordre 1) font intervenir de nombreuses intégrales des champs d'ordre 0 (newtoniens) U, rho_0, p0 et u0, et dépendent donc de la structure du corps et de son mouvement interne. A cause de la séparation entre les équations d'ordre 0 et 1, on voit mal comment on pourrait faire disparaître cette influence, et ceci semble indépendant de la théorie considérée.

Pour obtenir des EMCM utilisables, j'utilise deux simplifications qui ont lieu dans le système solaire: a) le fait que les corps importants sont quasi-sphériques, et b) la bonne séparation entre les corps. Le point a) est pris en compte en supposant, seulement pour le calcul des corrections 1PN, que dans chaque corps la densité newtonienne rho_0 est sphérique, donc aussi la pression p0 et le potentiel newtonien propre. La bonne séparation permet de définir un petit paramètre eta (le maximum du rapport entre le rayon d'un corps et sa distance aux autres corps). Pour la prendre en compte correctement, il semble donc à nouveau nécessaire d'introduire une famille de systèmes, cette fois une famille de systèmes 1PN (les équations 1PN du schéma asymptotique étant des équations exactes qui forment un système clos). Dans un premier temps [A26], j'avais cru pouvoir m'en dispenser, mais en procédant ainsi j'étais incapable d'assigner un ordre précis en eta à chaque terme des EMCM, et ne pouvais comparer que certains couples de termes entre eux. A cause de cela, j'avais négligé dans les équations finales certains termes qui se sont révélés numériquement importants. Cette famille de systèmes 1PN bien séparés est introduite, là encore, par une famille de conditions initiales [A32]. Les équations finales dépendent de trois paramètres de structure par corps, et aussi de la vitesse de rotation propre de chaque corps [A32].

iii) Limite d'un corps ponctuel et violation du principe d'équivalence faible [A33 , B23]

Il était intéressant de se demander si l'influence de la structure du corps pouvait subsister à la limite d'un corps ponctuel. Ceci constituerait une violation du "principe d'équivalence faible", selon lequel l'accélération d'un très petit corps dans un champ de gravitation est la même pour tous les corps. La validité de ce principe ne fait aucun doute en théorie newtonienne, mais n'est, somme toute, nullement évidente a priori dans une théorie relativiste de la gravitation, sauf si l'on considère des particules d'épreuve. De telles particules, par définition, ne contribuent pas au champ, et à cause de ceci la plupart des théories (y compris la théorie étudiée) prédisent en effet que l'accélération est la même pour toutes. Mais en fait un corps massif, aussi petit soit-il, contribue au champ de gravitation: même en théorie newtonienne, ce champ n'est pas du tout négligeable dans le corps lui-même, et s'il apporte une contribution globale nulle au mouvement du centre de masse du corps, c'est par suite du principe d'action-réaction qui s'applique en théorie newtonienne. Mais ce dernier principe ne peut même pas être formulé dans un théorie non-linéaire, donc dans une telle théorie l'influence du champ propre peut a priori subsister à la limite d'un corps ponctuel.

Pour définir cette limite de façon rigoureuse, j'ai une fois de plus considéré une famille: une famille de systèmes 1PN, dont les conditions initiales ne dépendent du petit paramètre xi que par la taille du corps numéroté 1, qui est justement xi. Ceci me permet d'évaluer les limites quand xi tend vers 0 des différents termes de la correction 1PN à l'accélération. L'un de ces termes est le quotient par M (la masse du corps dont on cherche l'accélération) de l'intégrale, dans le volume de ce même corps, de

fi = rho_0  u0 j u0k(hjk,i - hik,j)/2                (13)

(où h est la partie non-euclidienne de la métrique spatiale), qui provient des termes spatiaux de la connexion dans l'équation dynamique (10). Ce terme serait présent également si l'on appliquait le même traitement en RG. Dans la théorie étudiée, h dépend des dérivées spatiales du potentiel newtonien U, et fi contient donc les dérivées secondes de celui-ci. Or, la partie propre de ces dérivées secondes est d'ordre 0 en xi, et dépend de la structure interne du corps. Pour cette raison, l'accélération PN du corps dépend de sa structure à la limite d'un corps ponctuel. Ceci ne peut se produire avec la métrique de l'approximation PN standard de la RG en jauge harmonique, car sa partie spatiale est conforme à la métrique euclidienne, mais je pense que cela pourrait se produire dans une autre jauge (cf. la métrique de Schwarzschild). J'ai évalué l'ordre de grandeur de la violation du principe d'équivalence faible dans ma théorie: il est dangereux, mais peut rester compatible avec les expériences testant ce principe. Je note que l'analyse de ces expériences (qui utilisent en général une balance de torsion) est purement newtonienne, ce qui me paraît surprenant compte-tenu de l'ordre de grandeur des corrections PN et de la précision extrême invoquée.


II.6. Mécanique céleste dans le système solaire [A29 , A30 , A31 , B21 , B22]

Pour tester une théorie alternative en mécanique céleste, il ne suffit pas d'intégrer soigneusement sur ordinateur les EMCM, en prenant les valeurs des paramètres dans la littérature astrodynamique, et de comparer le résultat de l'intégration avec une éphéméride de référence, pour deux raisons:
a) Les paramètres astrodynamiques (masses, conditions initiales, etc.) doivent être considérés comme des paramètres ajustables dont les valeurs optimales dépendent de la théorie [A26] (les conditions initiales dépendent même du modèle précis: nombre de corps pris en compte, etc., et aussi de l'intervalle de temps considéré [A30]). D'ailleurs, une nouvelle théorie fait intervenir d'autres paramètres que la théorie de référence. Ainsi, dans la théorie considérée, il y a un paramètre supplémentaire: la vitesse absolue V du centre de masse (d'ordre 0) du système solaire (laquelle est une constante tant que l'on considère ce système comme isolé); de plus, le schéma PN "asymptotique" utilisé fait intervenir des paramètres de structure et conduit à des équations séparées pour l'ordre 0 et la correction PN, ce qui a des conséquences sur l'intégration numérique (nécessitant une procédure de réinitialisation [A29]) et donc sur les valeurs des paramètres.
 
b) Une éphéméride de référence n'est qu'une intégration finale précédée d'un ajustement des constantes (lui-même fondé sur une itération du processus d'intégration), ceci dans le cadre de la théorie de référence et de son schéma d'approximation. Mais les constantes que l'on ajuste alors ne se limitent pas aux paramètres astrodynamiques, non observables directement, qui entrent en jeu dans les équations que l'on intègre: l'analyse des observations de base elles-même (temps de passage au méridien, échos radar, etc.) dépend d'une foule de paramètres connus avec une précision insuffisante (par ex.: corrections de phase, dérives de catalogue, etc.), et qui sont donc ajustés en même temps que l'éphéméride, ce qui signifie que les observations sont biaisées par la théorie de référence. Même des observations dont le dépouillement peut être fait indépendamment de l'ajustement de l'éphéméride de référence sont également biaisées par la théorie, puisque celle-ci est de toutes façons utilisée pour ce dépouillement.

Si l'on ne tient pas compte de ces deux points, on risque de rejeter toute théorie nouvelle qui ne soit pas une extension de la théorie de référence, et de n'accepter ce dernier type de théorie nouvelle que pour des valeurs de ses constantes qui la font pratiquement coïncider avec la théorie de référence. Cependant, le dépouillement des observations fait appel à des connaissances très spécialisées, et l'on peut espérer, au moins dans un premier temps, que le couplage théorie-observation noté en b) n'affecte pas trop gravement les résultats. De sorte que je me suis limité au point a), i.e. à étudier l'ajustement des paramètres astrodynamiques de ma théorie (masses et conditions initiales d'ordre 0, vecteur V) sur une éphéméride du Jet Propulsion Laboratory (JPL). Pour commencer, j'ai construit un programme d'ajustement reposant sur l'algorithme de Gauss et je l'ai testé avec les équations newtoniennes: en ajustant celles-ci sur l'éphéméride "relativiste" du JPL, je réexaminais, avec la précision actuelle (à la fois des observations et des calculs), la question du périhélie de Mercure. La conclusion est qu'on ne peut pas reproduire l'éphéméride relativiste avec les équations newtoniennes avec moins de 20'' par siècle d'erreur angulaire, que l'avance résiduelle de la longitude du périhélie de Mercure est bien de 43'' par siècle - et que l'ajustement des conditions initiales est primordial [A31]. J'ai ensuite utilisé mon programme d'ajustement pour minimiser sur 3000 ans l'écart entre l'éphéméride relativiste, prenant en compte les corps mineurs et fondée sur les équations d'Einstein-Infeld-Hoffmann, et des calculs n'intégrant que les corps majeurs et fondés sur les équations newtoniennes corrigées ou non avec les termes de Schwarzschild (on arrive alors à des écarts bien plus petits) [A30]. J'ai bénéficié de conseils de P. Bretagnon (hélas décédé depuis lors) et A. Le Guyader, du Bureau des Longitudes, et d'E. M. Standish du JPL.

L'ajustement des EMCM de la théorie scalaire utilise la réinitialisation [A29] mentionnée plus haut, et des transformations de Lorentz pour aller et venir du référentiel privilégié de la théorie au référentiel barycentrique du système solaire [B21 , B22]. Il se révèle délicat et dangereux d'ajuster les masses lors d'une intégration globale du système solaire (ce point est confirmé par des essais antérieurs du JPL: il est préférable de déterminer la masse de chaque planète grâce à l'analyse de son approche par une sonde spatiale; ces analyses constituent un gros travail qui reste à effectuer pour cette théorie); je dois donc laisser les masses à leurs valeurs standard. Probablement à cause de cela, je dois aussi, pour le moment, négliger l'effet de la rotation propre des corps. Dans ces conditions (et dans l'état actuel, perfectible, du programme d'intégration), j'obtiens un écart maximum de 3''7 sur le 20ème siècle (trouvé pour la longitude de Mercure, donc directement comparable aux fameuses 43''), après ajustement sur 1956-2000. Un point important est que la valeur optimale trouvée pour la vitesse absolue V est d'environ 3 km/s, ce qui n'est pas négligeable. Autrement dit, le fait que la théorie ait un référentiel privilégié ne semble pas rédhibitoire.


II.7. Schéma post-minkowskien "asymptotique" et rayonnement gravitationnel [A34 , B24]

Les études sur le rayonnement gravitationnel en RG partent généralement d'une linéarisation des équations de la théorie, qui conduit, en jauge harmonique, à la "formule du quadrupôle". Il n'est pas difficile de procéder à cette linéarisation dans la théorie étudiée, et ainsi d'obtenir l'équivalent de cette formule. Etant donné le haut degré de précision des observations (des intervalles de temps entre les signaux successifs reçus de "pulsars binaires") et de l'accord trouvé entre celles-ci et le modèle de "timing" fondé sur cette formule, et même si l'on peut élaborer des justifications de ce modèle en passant par des calculs post-newtoniens menés jusqu'à un ordre suffisamment élevé, il serait néanmoins intéressant de disposer d'une justification directe de ce type de calculs.

C'est ce que j'ai tenté de trouver pour la théorie scalaire, en proposant un schéma "post-minkowskien (PM) asymptotique" qui est le pendant, pour les problèmes de rayonnement gravitationnel, du schéma post-newtonien asymptotique construit pour la mécanique céleste "usuelle". Ce schéma PM consiste donc également à introduire une famille de conditions initiales, définissant une famille de systèmes gravitants constitués de fluides parfaits. La différence essentielle entre les deux schémas est que, dans le schéma PM, la condition initiale pour le champ de vitesses est indépendante du paramètre de force-de-champ epsilon (ou du carré lambda = epsilon^2), ce qui signifie physiquement qu'il n'est pas nécessaire que la vitesse des corps soit négligeable devant c. (Ce schéma PM est donc simplement plus général que le schéma PN correspondant.)  A cause de cela, les développements par rapport au petit paramètre sont effectués à une valeur constante du temps "vrai", ce qui entraîne que la variable temporelle pertinente pour les développements en puissances de 1/c2 (qui reposent sur le même changement d'unités que dans le cas du schéma PN) n'est plus x' 0 :=  t, mais x0 :=  ct. Il en résulte que le développement de l'équation du champ scalaire conduit à des équations d'ondes contenant le d'alembertien. Le développement des équations dynamiques ne conduit pas non plus aux équations newtoniennes: les équations d'ordre 0 expriment la conservation de la quantité de mouvement (et de la masse-énergie). Dans cette théorie qui dispose d'une véritable loi de conservation de l'énergie, la variation de l'énergie totale contenue dans un domaine incluant le système considéré, supposé isolé, s'exprime sans ambiguïté par un flux d'énergie gravitationnelle sortant de ce domaine. Le développement 0PM de ce flux dépend du potentiel retardé, solution de l'équation d'ondes concernée (développement à l'ordre 0 de l'équation du champ gravitationnel). La limite à l'infini de ce développement du flux ne dépend que de la dérivée temporelle troisième du tenseur quadrupolaire, comme c'est le cas en RG dans la jauge harmonique - et ce résultat est vrai même si le centre de masse du système n'est pas au repos dans le référentiel privilégié.

Parce que le schéma PM est plus général que le schéma PN, on peut utiliser ce résultat pour calculer une approximation du taux de l'énergie newtonienne du système. Ceci permet de calculer les "coefficients de Peters-Mathews" de la théorie scalaire. Ceux-ci n'ont pas les mêmes valeurs qu'en RG, mais donnent un taux de perte d'énergie, et donc une diminution de la période orbitale, ayant le même ordre de grandeur qu'en RG - si l'on prend pour les paramètres orbitaux et les masses des valeurs voisines de celles trouvées avec le modèle de "timing" fondé sur la RG. Or, la seule donnée observationnelle d'un tel modèle est la liste des instants de réception des signaux émis par le pulsar. Je prétends donc que l'on ne peut préjuger des valeurs exactes des paramètres qui seraient trouvées par ajustement de ces données, non sur le modèle de timing fondé sur la RG, mais sur un modèle de timing reposant entièrement sur la théorie scalaire. Ainsi, au stade actuel, on peut dire que la théorie scalaire prédit une diminution de la période orbitale d'un pulsar binaire ayant le même ordre de grandeur qu'en RG - contrairement à presque toutes les théories alternatives, sauf celles qui sont une extension de la RG - mais on ignore si les données des pulsars peuvent être ajustées avec la même précision qu'en RG (ce qui est le vrai test).



III. Lien avec les autres interactions : électromagnétisme classique, mécanique quantique

III.1. Equations de Maxwell dans un champ de gravitation [B13]

En RG, on passe des équations de Maxwell dans un espace-temps plat à celles valables en présence d'un champ de gravitation, caractérisée par un espace-temps courbe, en remplaçant les dérivées partielles en coordonnées galiléennes (i.e. les dérivées covariantes par rapport à la métrique plate) par les dérivées covariantes par rapport à la métrique lorentzienne courbe, en coordonnées quelconques. (Ce remplacement ne fixe les équations que si l'on part des équations pour le champ électromagnétique, et non de celles pour le 4-potentiel, car ces dernières sont du deuxième ordre, or les dérivées covariantes ne commutent pas. Cette difficulté est grave pour les équations d'ondes quantiques, pour lesquelles on n'a pas toujours d'équations du premier ordre "naturelles".) La théorie étudiée n'est pas une théorie métrique (malgré la présence de deux métriques d'espace-temps, dont la métrique courbe gamma, qui est reliée aux mesures d'espace et de temps de la même façon qu'en RG), parce que les particules d'épreuve ne suivent pas les géodésiques de gamma. Il faut donc procéder autrement pour généraliser les équations de Maxwell en présence d'un champ de gravitation.

Dans la théorie étudiée, le premier groupe d'équations de Maxwell est celui obtenu classiquement en partant de la définition du champ électromagnétique F par un 4-potentiel, et le deuxième groupe résulte de la dynamique du milieu chargé soumis à la gravitation et à la force de Lorentz due au champ électromagnétique. L'extension à cette théorie de la deuxième loi de Newton pour une particule d'épreuve peut se formuler aussi bien lorsque cette particule est soumise, en même temps qu'à la force gravitationnelle, à une force non-gravitationnelle. (Celle-ci étant donnée dans le référentiel privilégié E.) On en déduit, comme dans le cas "gravitationnel pur", une équation de l'énergie pour une particule d'épreuve, et l'on obtient ainsi l'expression de sa 4-accélération. En considérant ensuite une poussière de telles particules, on obtient comme précédemment une équation dynamique, dont le second membre est la somme du second membre  bmu de (10) et d'un terme contenant la densité volumique de la force non-gravitationnelle, densité supposée donnée. A nouveau, on admet que cette équation reste valable pour un milieu continu quelconque, ce qui étend la dynamique du milieu continu au cas avec une densité de forces extérieures non-gravitationelles.

Pour appliquer cette dynamique à un milieu chargé, on détermine d'abord l'expression de la force de Lorentz en imposant qu'elle soit invariante par les transformations internes au référentiel privilégié, et qu'elle se réduise à l'expression classique en l'absence de gravitation. Le milieu chargé obéit donc à l'équation dynamique d'un milieu continu soumis à la densité de la force de Lorentz. D'autre part, le tenseur énergie-impulsion total T est la somme du tenseur Tcharges, correspondant au milieu chargé, et du tenseur énergie-impulsion Tem du champ électromagnétique. Ce tenseur total T doit obéir à l'équation dynamique en l'absence de forces extérieures (non-gravitationnelles) (10). A cause de la linéarité du deuxième membre bmu de (10) par rapport à T, il résulte de ces deux équations dynamiques (celle pour Tcharges et celle pour T) une équation dynamique pour le tenseur Tem, qui peut s'interpréter en disant que le champ électromagnétique est un milieu continu soumis à la gravitation et à l'opposé de la force de Lorentz. En vertu de l'expression connue de Tem en fonction du tenseur de champ électromagnétique F et de la métrique d'espace-temps gamma, cette dernière équation dynamique fournit les quatre équations supplémentaires cherchées pour le champ F - qui sont non-linéaires, mais qui se réduisent à la généralisation en RG des équations de Maxwell, dans le cas particulier d'un champ de gravitation constant.


III.2. Identité du mouvement des photons et du flux d'énergie électromagnétique dans le vide [B13]

Le lien doit être fait entre les trajectoires des photons et les équations de Maxwell modifiées, c'est à dire entre l'optique géométrique et l'optique ondulatoire dans un champ de gravitation. La théorie doit donc dire quel type particulier de champ électromagnétique peut être considéré comme une "poussière de photons", dont chacun suit par définition une trajectoire à vitesse constante c, solution de la deuxième loi de Newton pour une particule n'ayant pas de masse-au-repos et soumise à une force purement gravitationnelle. Les équations de Maxwell modifiées de la théorie expriment la dynamique du champ électromagnétique soumis à la gravitation et à l'opposé de la force de Lorentz. Toutefois, en plus de ces deux forces qui lui sont extérieures, le continuum électromagnétique sera en plus soumis, en général, à des forces intérieures, comme n'importe quel milieu continu. Pour que sa dynamique soit localement celle d'un photon, il faut donc annuler à la fois la force de Lorentz  et ces forces intérieures. L'annulation de la force de Lorentz revient simplement à annuler le 4-courant, c'est à dire à se placer à l'extérieur des milieux chargés, donc "dans le vide" au sens de la physique classique.

Il est moins immédiat d'identifier les forces intérieures et de trouver les conditions de leur annulation. On peut identifier les forces intérieures dans un milieu continu général, en écrivant la dynamique du continu sous la forme de la deuxième loi de Newton pour un élément de volume (soumis aux forces extérieures et aux forces intérieures), et en imposant qu'elle coïncide avec l'équation trouvée par induction à partir d'une poussière. On trouve ensuite que, pour que les forces intérieures soient nulles, il faut et il suffit que T soit le produit tensoriel d'un 4-vecteur V par lui-même: ceci est donc la forme générale du tenseur énergie-impulsion d'une "poussière", indépendamment de toute hypothèse sur la masse-au-repos des particules constitutives. De plus, sous cette condition, la vitesse (dans le référentiel privilégié) du milieu continu est définie comme la vitesse du flux d'énergie:

ui := dxi /dT  = c T i0/T 00.                    (14)

Pour le tenseur énergie-impulsion Tem du champ électromagnétique, la condition qu'il soit un carré tensoriel équivaut à imposer que les deux invariants du champ électromagnétique soient nuls (ce résultat est d'ailleurs connu), ce qui caractérise une "onde pure".

Ainsi, pour qu'un champ électromagnétique soit équivalent à une "poussière de photons", il faut et il suffit que ses deux invariants soient nuls et que l'on se place dans le vide. Si c'est le cas, je montre que les équations de Maxwell modifiées signifient exactement que les trajectoires du flux d'énergie électromagnétique, définies par (14) avec T = Tem, sont des trajectoires de photons au sens de la deuxième loi de Newton de la théorie. Ceci constitue le lien cherché.


III.3. Interprétation de la correspondance hamiltonien-opérateur d'ondes [B15 , A22]

De nos jours, la "correspondance quantique", associant un opérateur différentiel linéaire à un hamiltonien classique, est postulée de façon axiomatique, éventuellement après l'avoir motivée par quelques exemples élémentaires. Etant donnée l'importance cruciale de cette correspondance, tout progrès vers sa compréhension semble intéressant. Il se trouve que, pour une équation d'ondes linéaire, le vecteur d'onde se propage sur les caractéristiques d'une certaine équation d'ordre 1; lorsqu'on met cette équation sous forme caractéristique, on tombe sur un système hamiltonien, dans lequel le hamiltonien n'est rien d'autre que la relation de dispersion associée à l'équation d'ondes. Or, pour un "mode" vibratoire donné, la correspondance entre la relation de dispersion et l'équation d'ondes est biunivoque. Toutes ces remarques sont dans un livre de G. B. Whitham, un spécialiste des ondes classiques. Elles fournissent la base de l'essai d'interprétation que je propose pour la correspondance quantique.

Je commence par généraliser un peu les remarques de Whitham. La notion d'onde suppose que l'onde est définie sur un domaine (ouvert) D d'un espace de configuration étendu RxM, où M est l'espace de configuration, de dimension N. Pour un opérateur différentiel linéaire quelconque P "défini sur D", on définit avec les coefficients (variables) de P, en chaque point X de D, une fonction polynomiale Pi du covecteur K (appartenant à l'espace cotangent à RxM en X. Pi n'est bien définie que si seuls des changements de coordonnées "linéaires dans l'infinitésimal" [B15 , A22] sont autorisés. Si par ex. l'espace RxM est muni d'une métrique pseudo-riemannienne, Pi est invariante par les changements de coordonnées localement géodésiques en X.) La correspondance entre l'opérateur P et la fonction Pi est biunivoque; la correspondance inverse revient à remplacer la composante Kmu du "covecteur d'ondes" par l'opérateur Dmu/i, où Dmu est la dérivation partielle par rapport à mu et i2 = -1. En "suivant" en fonction de X les différentes racines de l'équation de dispersion Pi(X, K) = 0, considérée comme une équation polynomiale pour la fréquence omega := -K0, on peut identifier différentes "relations de dispersion" omega = W(k1,...,kN;X), donnant la fréquence en fonction de la partie spatiale k de K. Pour chacune de ces fonctions W, le raisonnement de Whitham montre qu'un champ de vecteurs d'onde solution de la relation de dispersion définit naturellement un champ de trajectoires solutions du système hamiltonien de hamiltonien W.

Lorsqu'ils ont inventé la mécanique ondulatoire, de Broglie puis Schrödinger considéraient un système hamiltonien comme décrivant le "squelette" d'un réseau d'ondes associé à une équation d'ondes linéaire, de la même façon que l'optique géométrique décrit les trajectoires de rayons lumineux qui sont le squelette du réseau d'ondes sous-jacent. Si l'on adopte cette heuristique, le cadre mathématique résumé ci-avant conduit réellement à admettre que l'équation d'ondes cherchée doit avoir comme relation de dispersion une fonction W dont les trajectoires hamiltoniennes soient les trajectoires solutions du hamiltonien H de départ. Pour assurer cela, le moyen le plus naturel est de supposer que W et H sont proportionnels. En notant hbar la constante de proportionnalité, on tombe alors simultanément sur les relations quantiques liant l'énergie à la fréquence et la quantité de mouvement au vecteur d'onde, et sur la correspondance entre le hamiltonien classique et l'opérateur d'ondes. Cette interprétation impose une solution au problème de l'ambiguïté de la correspondance, dans le cas général où le hamiltonien contient des termes dépendant à la fois de la "position" X (dans l'espace de configuration étendu) et de la quantité de mouvement. Elle fournit aussi quelques pistes de réflexion sur la mécanique quantique [B15 , A22], notamment sur son extension en présence d'un champ de gravitation.


III.4. Solutions "solitons" de l'équation de Schrödinger [B15 , A22]

Poursuivant mon essai d'interprétation, je me suis demandé s'il était possible d'arriver de façon naturelle aux problèmes de valeurs propres (PVP) qui interviennent en mécanique quantique (MQ). En ce qui concerne les PVP pour l'énergie, on sait qu'ils entrent en jeu dès lors qu'on postule que les niveaux d'énergie correspondent à des états stationnaires. Pour la quantité de mouvement, on définit en MQ un "état de quantité de mouvement" par la propriété que sa fonction d'onde est une onde plane, en ne considérant d'ailleurs que la dépendance spatiale de la fonction d'onde. Une onde plane n'est, bien sûr, pas une fonction de carré intégrable, propriété qu'on exige pourtant des fonctions d'onde quantiques. De plus, il est facile de montrer qu'une onde plane (avec sa dépendance temporelle sinusoïdale) ne peut pas être solution de l'équation de Schrödinger sauf si le potentiel est constant, i.e. dans le cas d'une particule libre.

Trois conditions m'ont semblé naturelles pour définir un "état de quantité de mouvement", dans le cas d'une seule particule non relativiste: i) la vitesse de groupe doit être spatialement uniforme; ii) la fonction d'onde psi doit obéir à l'équation de Schrödinger (dépendant du temps); et iii) l'amplitude de psi doit s'évanouir à l'infini (spatial). J'ai montré [A22] qu'il existe de telles fonctions d'onde pour une dépendance spatiale tout à fait générale du potentiel, mais qu'à une fonction affine près des coordonnées spatiales, dont les coefficients peuvent dépendre du temps de façon quelconque, la variation temporelle du potentiel doit être une translation suivant le mouvement de la fonction d'onde - lequel est en effet une translation bien définie, à cause du point i): on trouve que l'amplitude de psi subit une translation le long des courbes intégrales de la vitesse de groupe. Ces solitons représentent donc des objets ayant une quantité de mouvement bien définie (puisqu'ils se translatent avec une vitesse spatialement uniforme), et localisés dans l'espace, au sens que l'amplitude tend vers 0 à l'infini! En revanche, il n'intervient pas de PVP spatial à proprement parler dans la définition de ces "états de quantité de mouvement" alternatifs.

Dans le cadre de l'interprétation proposée de la correspondance quantique, il est naturel de chercher si l'on peut imposer la condition supplémentaire suivante: iv) la relation de dispersion est exactement satisfaite par le vecteur d'onde (le gradient de la phase de l'onde). En effet, selon cette interprétation, la limite classique est celle de l'optique géométrique, à laquelle limite l'équation d'onde et la relation de dispersion sont satisfaites simultanément. S'il existe des fonctions d'onde obéissant à iv), en plus des trois conditions précédentes, elles devraient donc avoir un rapport avec la limite classique. J'ai trouvé [B15 , A22] que de tels "états classiques de quantité de mouvement" existent si et seulement si le potentiel est linéaire par rapport à l'espace, autrement dit si le champ de forces est spatialement uniforme (sa variation temporelle étant quelconque). Le mouvement de translation pure de la fonction d'onde est alors déterminé par la deuxième loi de Newton correspondant à ce champ de forces spatialement uniforme. L'extension spatiale de ces solitons est arbitraire, mais constante. Enfin, l'amplitude d'un tel soliton a nécessairement une singularité en un point de l'espace.



III.5. Equation d'ondes de Klein-Gordon dans un champ de gravitation [B15]

Avant même de chercher à "quantifier" la gravitation, il importe d'écrire la mécanique quantique "usuelle" dans un champ de gravitation, et donc de trouver un cadre permettant d'étendre les équations d'onde (et ce qu'on en fait) à un espace-temps courbe. Il se pose alors la question de la covariance recherchée pour ces équations. L'interprétation proposée de la correspondance quantique dans le cadre de la "mécanique ondulatoire" conduit à restreindre fortement le choix possible des systèmes de coordonnées. En effet, pour que la fonction Pi soit bien définie, il faut se limiter à des changements "linéaires dans l'infinitésimal". D'autre part, la définition même de la vitesse de groupe et le rôle joué par les systèmes hamiltoniens imposent d'opérer une séparation claire entre l'espace et le temps, la coordonnée de temps étant en fait fixée à un changement d'échelle près. Dans un espace-temps plat, ceci conduit à utiliser des coordonnées galiléennes dans un référentiel d'inertie choisi a priori, et il se trouve heureusement qu'on obtient ainsi des équations invariantes de Lorentz (si l'on part d'un hamiltonien qui l'est déjà). Dans une théorie de la gravitation reposant sur un espace-temps courbe, il n'est en général pas possible de restreindre ainsi le choix de cordonnées d'une façon qui ne soit pas arbitraire et donc dénuée de sens physique. Cela n'est possible que pour une théorie à référentiel privilégié, telle que la théorie que j'étudie. Dans une telle théorie, une (et une seule) classe de systèmes de coordonnées stable par les changements "linéaires dans l'infinitésimal", et fixant la coordonnée de temps, apparaît naturellement: c'est la classe des systèmes qui sont liés au référentiel privilégié, localement géodésiques pour la métrique spatiale dans ce référentiel, et dont la coordonnée de temps est, à un facteur près, la coordonnée privilégiée (ce que j'appelle le "temps absolu" T). Toutefois, dans le cas particulier d'une métrique statique, on a dans toute théorie métrique un référentiel privilégié et une coordonnée de temps privilégiée.

Mais la difficulté se pose indépendamment de toute interprétation de la correspondance quantique, comme on peut le voir en considérant l'équation d'ondes relativiste la plus simple, à savoir l'équation de Klein-Gordon. Si l'on veut obtenir une extension de cette équation à un espace-temps courbe, on peut d'abord tenter d'utiliser la correspondance quantique en partant de la "longueur" invariante du 4-vecteur quantité de mouvement, mais l'équation obtenue dépendra du système de coordonnées choisi. Il y aura d'ailleurs ambiguïté sur cette équation, même dans un système fixé, à cause de l'influence de l'ordre dans lequel on écrit les opérateurs de position et de quantité de mouvement. On peut alors songer à simplement transposer l'écriture valable en relativité restreinte, en remplaçant les dérivées partielles par les dérivées covariantes; mais ceci est également ambigü, parce que l'équation est du deuxième ordre et que les dérivées covariantes ne commutent pas.

Pour appliquer au cas de l'équation de Klein-Gordon la correspondance quantique, avec l'interprétation proposée qui restreint le choix des coordonnées, il fallait donc me restreindre, soit à une théorie à référentiel privilégié, soit au cas statique. Dans ce dernier cas, la dynamique est identique dans la théorie étudiée et dans une théorie métrique. Je me suis donc placé dans le cadre de la théorie scalaire, mais sans utiliser la forme particulière postulée pour la métrique: les résultats obtenus dans le cas statique sont donc valables tels quels pour une théorie métrique. J'ai trouvé que, justement, la dynamique d'une particule d'épreuve dans la théorie étudiée dérive d'un hamiltonien classique si et seulement si on est dans le cas statique. Dans ce cas, on peut donc appliquer la correspondance quantique non-ambigüe correspondant à l'interprétation proposée. Dans l'extension ainsi obtenue de l'équation de Klein-Gordon, l'opérateur d'ondes se trouve coïncider exactement avec celui qui intervient au premier membre de l'équation (6) du champ gravitationnel scalaire dans la théorie étudiée. Cette extension garde donc un sens dans le cas général (non-statique), mais dépend de l'hypothèse d'un référentiel privilégié, et ne coïncide pas avec l'extension usuellement choisie de l'équation.

En conclusion, l'analyse du sens mathématique de la "mécanique ondulatoire" conduit à trouver que la présence d'un champ de gravitation brise l'invariance de Lorentz en faisant apparaître un référentiel privilégié, de la façon même qui intervient dans la théorie scalaire étudiée.


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Publications : Physique théorique

A. Revues à comité de lecture

A8. M. ARMINJON, " A theory of gravity as a pressure force. I. Newtonian space and time ", Rev. Roum. Sci. Techn. - Méc. Appl. 38, N° 1, 3-24, 1993. PDF version from scanning the printed paper: part 1 (967 kb)   ;  part 2 (924 kb)   ;  part 3 (953 kb).

A9. M. ARMINJON, " A theory of gravity as a pressure force. II. Lorentz contraction and ‘relativistic’ effects ", Rev. Roum. Sci. Techn. - Méc. Appl. 38, N° 2, 107-128, 1993. PDF version from scanning the printed paper: part 1 (964 kb)   ;  part 2 (860 kb)   ;  part 3 (874 kb).

A15. M. ARMINJON, " Energy and equations of motion in a tentative theory of gravity with a privileged reference frame ", Arch. Mech. 48, N°1, 25-52, 1996. HTML version (Symbol characters may be misinterpreted). PDF version (from electronic paper henceforth): part 1 (193 kb) ; part 2 (209 kb).

A16. M. ARMINJON, " On the extension of Newton’s second law to theories of gravitation in curved space-time", Arch. Mech. 48, N°3, 551-576, 1996. HTML version (Symbol characters may be misinterpreted). PDF version: part 1   ;   part 2.

A18. M. ARMINJON, " Scalar theory of gravity as a pressure force ", Rev. Roum. Sci. Techn. - Méc. Appl.42, N°1-2, 27-57, 1997. HTML version (Symbol characters may be misinterpreted). PDF version: part 1    ;   part 2.  N.B.: the first version of this work (almost identical to the present one) dates back to end 1992, it is well anterior to [A15] and [A16]. 

A19. M. ARMINJON, " Post-Newtonian approximation of a scalar theory of gravitation and application to light rays ", Rev. Roum. Sci. Techn. - Méc. Appl.. 43, N°2,135-153, 1998.

A20. M. ARMINJON, " On the possibility of matter creation/destruction in a variable gravitational field ", Analele Universitatii Bucuresti - Fizica 47, 3-21, 1998.

A22. M. ARMINJON, " On the relation Hamiltonian - wave equation, and on non-spreading solutions of Schrödinger’s equation ", Nuovo Cimento 114B, N°1, 71-86, 1999.

A23. M. ARMINJON, " Asymptotic expansions for relativistic celestial mechanics ", Romanian Journal of Physics, 45, N° 5-6, 389-414 (2000).

A25. M. ARMINJON, "Motion of the mass centers in a scalar theory of gravitation. I. Definition of mass centers and general form of the equations of motion", Romanian Journal of Physics, 45, N° 9-10, 645-658 (2000).

A26. M. ARMINJON, "Motion of the mass centers in a scalar theory of gravitation. II. Explicit equations of motion in the relevant approximation", Romanian Journal of Physics, 45, N° 9-10, 659-678 (2000).

A28. M. ARMINJON, "Accelerated expansion as predicted by an ether theory of gravitation", Physics Essays 14, N°1, 10-32 (2001).

A29. M ARMINJON, "Comparison between two methods of post-Newtonian expansion for the motion in a weak Schwarzschild field", Nuovo Cimento 116B, N°11, 1277-1290 (2001).

A30. M ARMINJON, "Proper initial conditions for long-term integrations of the solar system", Astronomy & Astrophysics 383, 729-737 (2002).

A31. M ARMINJON, "A numerical solution of the inverse problem in classical celestial Mechanics, with application to Mercury's motion", to appear in Meccanica (2003).

A32. M. ARMINJON, "Equations of motion of the mass centers in a scalar theory of gravitation: Expansion in the separation parameter", Romanian Journal of Physics, to appear (2003/2004). 

A33. M ARMINJON, "Equations of motion of the mass centers in a scalar theory of gravitation: the point particle limit", submitted.

A34. M ARMINJON, "Gravitational effects on light rays and binary pulsar energy loss in a scalar theory of gravity", Theor. Math. Phys. (Teor. Mat. Fiz.), to appear.

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B. Actes de congrès avec comité de lecture (physique théorique)

B13. M. ARMINJON, " Gravitation as a pressure force: a scalar ether theory ", Proc. 5th. Int. Conf. " Physical Interpretations of Relativity Theory " (London, 1996), Supplementary Papers Volume (M.C. Duffy, edr.), British Soc. Philos. Sci./ University of Sunderland, 1998, pp. 1-27. HTML version (Symbol characters may be misinterpreted). PDF version: part 1. PDF version: part 2. PDF version: part 3. PDF version: part 4.

B15. M ARMINJON, " Remarks on the mathematical origin of wave mechanics and consequences for a quantum mechanics in a gravitational field ", 6th. Int. Conf. " Physical Interpretations of Relativity Theory " (London, 1998), Proceedings (M.C. Duffy, edr.), British Soc. Philos. Sci. /Univ. of Sunderland, 1998, pp. 1-17.

B16. M. ARMINJON, " On asymptotic approximations for celestial mechanics in relativistic theories of gravitation ", Semi-Plenary Lecture, 1999 Summer School "Nonlinear Oscillations in Mechanical Systems", St Petersbourg, 1-8 Sept. 1999. Text appeared in the Proceedings (D.A. Indeitsev & V.A. Palmov, edrs., Institute of Problems of Mechanical Engineering / Russian Academy of Sciences, St Petersburg).

B17. M ARMINJON, " The scalar ether-theory of gravitation and some implications ", Invited Lecture, 23rd. International Workshop on the Fundamental Problems of High Energy Physics and Field Theory (Protvino, 21-23 Juin 2000), Proceedings (I. V. Filimonova & V. A. Petrov, eds.), Inst. for High Energy Physics, Protvino, 2000, pp. 200-210.

B18. M. ARMINJON, " Weak-field approximation of a scalar theory of gravitation and the propagation effects of gravity ", 6th. Int. Conf. " Physical Interpretations of Relativity Theory", Late Papers (M.C. Duffy, edr.), British Soc. Philos. Sci. /Univ. of Sunderland, 2000, pp. 1-13.

B19. M. ARMINJON, " On a scalar theory of gravitation", Ninth Marcel Grossmann Meeting on General Relativity (Roma, 2000), Proceedings (V. G. Gurzadyan, R. T. Jantzen, R. Ruffini, eds.), World Scientific, 2002, pp. 1084-1085.

B20. M. ARMINJON, " Cosmology in a scalar ether theory of gravitation ", 7th. Int. Conf. " Physical Interpretations of Relativity Theory " (London, 2000), Proceedings (M.C. Duffy, edr.), British Soc. Philos. Sci. /Univ. of Sunderland, 2000, pp. 1-15.

B21. M. ARMINJON, " The scalar ether-theory of gravitation and its first test in celestial mechanics ", 5th Friedmann International Seminar on Gravitation and Cosmology, (João Pessoa, Brazil, 23-30 April 2002), Int. J. Mod. Phys. A17, 4203-4208 (2002).

B22. M. ARMINJON, " Testing a theory of gravity in celestial mechanics: a new method and its first results for a scalar theory ", 8th. Int. Conf. " Physical Interpretations of Relativity Theory " (London, September 2002), submitted to the Proceedings (M.C. Duffy, edr.), British Soc. Philos. Sci. /Univ. of Sunderland, to appear. There is an improved version posted on the arXiv server (2003).

B23.  M. ARMINJON, "Point-particle limit in a scalar theory of gravitation and the weak equivalence principle", Rencontres de Moriond "Gravitational waves and experimental gravity" (Les Arcs, France, March 2003), submitted to the Proceedings (J. Dumarchez, ed.). 

B24. M. ARMINJON, "Gravitational Energy Loss and Binary Pulsars in the Scalar Ether-Theory of Gravitation", 4th Conf. on Physics Beyond the Standard Model (Tegernsee, Germany, June 2003), to appear in the Proceedings (H. V. Klapdor-Kleingrothaus, ed.).


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C.    Communications à des Colloques sans actes, ou avec des actes à diffusion restreinte et/ou sans comité de lecture


C19. M. ARMINJON, “ Asymptotic PN approximation and the point-particle limit in a scalar theory of gravitation ”, Deuxièmes Journées “ British Gravitation ” (School of Mathematical Sciences, Queen Mary, University of London, Juin 2002).



D.    Thèses, Rapports Scientifiques ou Techniques


D11. M. ARMINJON, “ A theory of gravity as the pressure action of an inertial fluid ”, Preprint n°12/92 du Département de Mathématiques et d’Informatique, Université de Metz, 1992 (52 p.).



S. Séminaires


S6. “ La gravitation comme une force de pression. Lien avec les effets ‘relativistes’ ”, séminaire du département “ matériaux ” de l’Ecole des Mines de St. Etienne, Juin 1994.

S8. “ Une théorie scalaire de la gravitation, son statut observationnel actuel, et son intérêt comme théorie-test en mécanique céleste relativiste ”, Séminaires “ Temps et Espace ”, Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des Ephémérides / Bureau des Longitudes, et Département d’Astronomie Fondamentale de l’Observatoire de Paris, Paris, 20 Juin 2001.

S9. “ Une théorie scalaire de la gravitation et son test en mécanique céleste ”, Séminaires de Physique Théorique du Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique, Tours, 3 Avril 2002.

S10. "A Scalar Theory of Gravitation: Summary and Post-Newtonian Mechanics", Gravity Group (Robin W. Tucker), Physics Dept., Lancaster University, 27 Février 2003.

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Installé le 25 Septembre 2003. Dernière modification le 14 Octobre 2003.