Travaux sur la gravitation : le point en Septembre 2005

Une page web décrit mes recherches dans ce domaine, depuis leur début en 1991 jusqu’en Septembre 2003: 
 http://people.3sr-grenoble.fr/users/marminjon/arminjon-rap2004-PhTh.html#Recherches 
(ci-après ``rap2004’’). Le but de ce document rtf est de résumer les résultats obtenus entre 2001 et 2005. Pour le rédiger, j’ai utilisé la page précédente, i.e. rap2004 – soit en y faisant référence, lorsqu’il s’agit de résultats antérieurs à la période, soit en reprenant certaines parties avec des modifications. Les points A1.6 et A2.2 sont nouveaux par rapport à rap2004. Les références entre crochets renvoient directement aux articles en ligne, et leurs numéros correspondent à ceux de la liste de publications.

A1) Schémas asymptotiques d’approximation post-newtonienne et post-minkowskienne
A1.1) Rappel du contexte et du principe du schéma post-newtonien asymptotique ; plan
A1.2) Equations de mouvement pour des corps bien séparés, selon la théorie scalaire
A1.3) Limite d'un corps ponctuel et violation du principe d'équivalence faible
A1.4) Test de la théorie scalaire en mécanique céleste
A1.5) Schéma post-minkowskien asymptotique et rayonnement quadrupole dans la théorie scalaire 
A1.6) Schéma post-newtonien asymptotique et mécanique céleste de la relativité générale

A2) Théorie scalaire de la gravitation avec un référentiel privilégié
A2.1) Motivation et résumé des travaux antérieurs
A2.2) Lien entre l’isotropie spatiale et l’universalité de la chute libre 

A1) Schémas asymptotiques d’approximation post-newtonienne et post-minkowskienne

A1.1) Rappel du contexte et du principe du schéma post-newtonien asymptotique ; plan

Le développement de ce schéma a eu lieu dans le contexte du test de la théorie alternative scalaire, d’abord pour les effets gravitationnels sur les rayons lumineux puis en mécanique céleste. Il consiste essentiellement à déduire de la donnée initiale correspondant au système étudié S (par ex. le système solaire) une famille de données initiales dépendant du paramètre de force-de-champ classique , qui sera donc arbitrairement petit, tandis que la valeur finie 0 correspondant au système étudié S est supposée ``suffisamment petite’’. Cette famille de données initiales définit une famille (S) de systèmes, c'est-à-dire une famille de champs. Il existe un changement d’unités qui amène la donnée initiale et (donc) les champs pertinents à l’ordre zéro en  ; après ce changement, seul 2 intervient dans les équations de champ. Après avoir fait ce changement, on écrit donc des développements de Taylor de tous les champs (champ gravitationnel et champs ``matière’’) par rapport à 2, jusqu’à l’ordre 2n  inclus pour l’approximation ``nPN’’. En insérant ces développements dans les équations de champ, chacune de celles-ci se décompose en (n+1) équations, correspondant aux puissances 2k (k = 0, …, n). Les équations correspondant à l’ordre zéro se trouvent être celles de la théorie newtonienne. 

Au printemps 99, alors que j’avais fini d’élaborer ce schéma (qui peut sembler très simple après coup), j’ai appris qu’un schéma similaire avait été proposé pour la relativité générale (RG) par Futamase & Schutz en 1983. Les différences entre les deux approches sont résumées dans rap2004. Quoi qu’il en soit, il restait d’abord à pousser la mise en œuvre de ce schéma jusqu’à l’obtention des équations de mouvement des centres de masse (EMCM). Ceci n’avait pas été fait en RG – je l’ai fait au premier semestre de l’année 2005, ce qui constitue le point A1.6. Pour la théorie scalaire, cela avait été fait sous une première forme en 2000, mais la bonne séparation n’était pas assez bien prise en compte (point A1.2). Et ensuite, il restait encore à utiliser ces équations pour tester la théorie en mécanique céleste (point A1.4). Enfin, pour étudier la perte d’énergie d’un système (tel qu’un pulsar binaire) par rayonnement gravitationnel dans la théorie scalaire, j’ai développé un schéma ``post-minkowskien asymptotique’’ (point A1.5).

A1.2) Equations de mouvement pour des corps bien séparés, selon la théorie scalaire

Rappelons que les EMCM s'obtiennent simplement en intégrant dans le volume de chaque corps les composantes spatiales des équations locales de mouvement de la première approximation post-newtonienne (approx. ``1PN’’) – ceci dans le référentiel global utilisé, qui, pour la théorie scalaire, doit être le référentiel privilégié. On obtient ainsi la forme générale des EMCM d’un système supposé bien décrit par les équations locales de l’approximation 1PN. Cette forme générale se présente comme une somme d’intégrales des champs 1PN dans le volume du corps considéré. Pour en déduire des EMCM utilisables, j'utilise deux simplifications qui ont lieu dans le système solaire: a) le fait que les corps importants sont quasi-sphériques, et b) la bonne séparation entre les corps, laquelle permet de définir un petit paramètre  (le maximum du rapport entre le rayon d'un corps et sa distance aux autres corps). Dans la première version des EMCM de la théorie scalaire ([A25-26], 2000), j’avais tenté de prendre en compte la bonne séparation sans me donner un cadre asymptotique précis. En procédant ainsi, il n’était pas possible d'assigner un ordre en  à chaque terme des EMCM, et l’on ne pouvait comparer que certains couples de termes entre eux. A cause de cela, j'avais négligé dans les équations finales de mouvement certains termes qui se sont révélés numériquement significatifs. 

J’ai donc dû introduire une famille (S’) de systèmes 1PN bien séparés (de mieux en mieux quand   0) ; là encore, ceci est fait en définissant une famille de conditions initiales [A32]. En calculant des développements asymptotiques, par rapport à , des intégrales qui interviennent dans la forme générale des EMCM, on obtient une description asymptotiquement exacte des ``effets de marée’’ dûs à la taille finie des corps. Evidemment, la description est d’autant plus précise que l’on considère une troncature plus élevée pour les développements. Les termes malencontreusement omis dans la première version étant d’ordre 3, il est nécessaire de conserver tous les termes jusqu’à 3 inclus. Cette approche constitue une alternative à la méthode utilisée actuellement en mécanique céleste relativiste, laquelle consiste à effectuer des développements multipolaires du champ gravitationnel extérieur de chaque corps, et à tronquer ces développements, en pratique à un terme par corps (la masse – approximation monopôle), qui peut être complété par un groupe de quatre termes homologues (approx. monopôle-dipôle). Il me semble que ma méthode donne plus de contrôle sur les termes omis. Les équations finales obtenues avec ma méthode dépendent, pour la théorie scalaire (v1 -- voir ci-dessous), de trois paramètres de structure par corps, et aussi de la vitesse de rotation propre de chaque corps.

A1.3) Limite d'un corps ponctuel et violation du principe d'équivalence faible 

Il était intéressant de se demander si l'influence de la structure du corps pouvait subsister à la limite d'un corps ponctuel. Ceci constituerait une violation du ``principe d'équivalence faible", selon lequel l'accélération dans un champ de gravitation, au moins celle d'un très petit corps, ne dépend pas de sa composition ou de sa structure. La validité de ce principe ne fait aucun doute en théorie newtonienne, mais n'est, somme toute, pas évidente a priori dans une théorie relativiste de la gravitation, sauf si l'on considère des particules d'épreuve. De telles particules, par définition, ne contribuent pas au champ, et à cause de ceci la plupart des théories (y compris la théorie étudiée) prédisent en effet que l'accélération est la même pour toutes. Mais en fait un corps massif, aussi petit soit-il, contribue au champ de gravitation : même en théorie newtonienne, ce champ n'est pas toujours négligeable dans le corps lui-même, et s'il apporte une contribution globale nulle au mouvement du centre de masse du corps, c'est par suite du principe d'action-réaction qui s'applique en théorie newtonienne. Mais ce dernier principe ne peut même pas être formulé dans un théorie non-linéaire, donc dans une telle théorie l'influence du champ propre peut a priori subsister à la limite d'un corps ponctuel. 
Pour définir cette limite de façon rigoureuse, j'ai une fois de plus considéré une famille : une famille de systèmes 1PN, dont les conditions initiales ne dépendent du petit paramètre x que par la taille du corps numéroté 1, qui est justement x [A33]. Ceci me permet d'évaluer les limites quand x tend vers 0 des différents termes de la correction 1PN à l'accélération. L'un de ces termes est le quotient par M (la masse du corps dont on cherche l'accélération) de l'intégrale, dans le volume de ce même corps, de 
fi = 0  u0 j u0k(hjk,i - hik,j)/2,
où h est la correction 1PN à la métrique spatiale (la métrique 0PN ou newtonienne étant euclidienne), et où 0  et u0 sont la densité et la vitesse newtoniennes. Ce terme provient des termes spatiaux de la connexion dans l'équation dynamique. Dans la première version de la théorie étudiée (ci-après v1), h dépend des dérivées spatiales du potentiel newtonien U, et fi contient donc les dérivées secondes de celui-ci. Or, la partie propre (au corps considéré) de ces dérivées secondes est d'ordre 0 en x, et dépend de la structure interne de ce corps. C’est ainsi que l'accélération 1PN du corps dépend de sa structure à la limite d'un corps ponctuel dans v1 [A33, B23]. J'ai évalué l'ordre de grandeur de la violation du principe d'équivalence faible dans ma théorie : dans un laboratoire terrestre, il était dangereux, mais aurait pu rester compatible avec les expériences testant ce principe. Mais le calcul de l’accélération pour les sondes Pioneer donnait un résultat nettement incompatible avec les observations. Ainsi, v1 a dû être rejetée [A33] à cause de cette violation quantitativement rédhibitoire de l’universalité de la gravitation.

A1.4) Test de la théorie scalaire en mécanique céleste

Pour tester une théorie alternative en mécanique céleste, il ne suffit pas d'intégrer soigneusement les équations de mouvement sur ordinateur, en prenant les valeurs des paramètres dans la littérature astrodynamique, et de comparer le résultat de l'intégration avec une éphéméride de référence, pour deux raisons :
 
a) Les paramètres astrodynamiques (masses, conditions initiales, etc.) doivent être considérés comme des paramètres ajustables dont les valeurs optimales dépendent de la théorie [A26]. Les conditions initiales dépendent même du modèle précis : nombre de corps pris en compte, etc., et aussi de l'intervalle de temps considéré [A30]. D'ailleurs, une nouvelle théorie fait intervenir d'autres paramètres que la théorie de référence. Ainsi, dans la théorie considérée, il y a un paramètre supplémentaire: la vitesse absolue V du centre de masse (d'ordre 0) du système solaire (laquelle est une constante tant que l'on considère ce système comme isolé); de plus, le schéma post-newtonien "asymptotique" utilisé fait intervenir des paramètres de structure.

 b) Une éphéméride de référence n'est qu'une intégration finale précédée d'un ajustement des constantes (lui-même fondé sur une itération du processus d'intégration), ceci dans le cadre de la théorie de référence et de son schéma d'approximation, lequel remplace les équations exactes par certaines équations approchées. Parmi les constantes que l'on ajuste alors, on trouve d’abord les paramètres astrodynamiques, non observables directement, qui interviennent dans les équations que l'on intègre. Mais l'analyse des observations de base elles-même (temps de passage au méridien, échos radar, etc.) dépend d'une foule de paramètres connus avec une précision insuffisante (par ex.: corrections de phase, dérives de catalogue, etc.), et qui sont parfois ajustés en même temps que l'éphéméride, ce qui signifie que les observations sont biaisées par la théorie de référence avec son schéma d’approximation. Même des observations dont le dépouillement peut être fait indépendamment de l'ajustement de l'éphéméride de référence sont également biaisées par la théorie, puisque celle-ci est de toutes façons utilisée pour ce dépouillement.

Si l'on ne tient pas compte de ces deux points, on risque de rejeter toute théorie nouvelle qui ne soit pas une extension de la théorie de référence, et de n'accepter ce dernier type de théorie nouvelle que pour des valeurs de ses constantes qui la font pratiquement coïncider avec la théorie de référence. Cependant, le dépouillement des observations fait appel à des connaissances très spécialisées, et l'on peut espérer, au moins dans un premier temps, que le couplage théorie-observation noté en b) n'affecte pas trop fortement les résultats. De sorte que je me suis limité au point a), i.e. à étudier l'ajustement des paramètres astrodynamiques de ma théorie (masses et conditions initiales d'ordre 0, vecteur V) sur une éphéméride du Jet Propulsion Laboratory (JPL). Pour commencer, j'ai construit un programme d'ajustement reposant sur l'algorithme de Gauss et je l'ai testé avec les équations newtoniennes : en ajustant celles-ci sur l'éphéméride "relativiste" du JPL, je réexaminais, avec la précision actuelle (à la fois des observations et des calculs), la question du périhélie de Mercure. La conclusion est qu'on ne peut pas reproduire l'éphéméride relativiste avec les équations newtoniennes avec moins de 20'' par siècle d'erreur angulaire, que l'avance résiduelle de la longitude du périhélie de Mercure est bien de 43'' par siècle - et que l'ajustement des conditions initiales est primordial [A31]. J'ai ensuite utilisé mon programme d'ajustement pour minimiser sur 3000 ans l'écart entre l'éphéméride relativiste, prenant en compte les corps mineurs et fondée sur les équations d'Einstein-Infeld-Hoffmann, et des calculs n'intégrant que les corps majeurs et fondés sur les équations newtoniennes corrigées ou non avec les termes de Schwarzschild (on arrive alors à des écarts bien plus petits) [A30]. J'ai bénéficié de conseils de P. Bretagnon (hélas décédé depuis lors) et A. Le Guyader, du Bureau des Longitudes, et d'E. M. Standish, du JPL.

L'ajustement des équations de mouvement de la théorie scalaire utilise une réinitialisation [A29] nécessitée par le fait que les équations pour l’ordre 0 et pour les corrections 1PN sont séparées. Il utilise aussi des transformations de Lorentz pour aller et venir du référentiel privilégié de la théorie au référentiel barycentrique du système solaire [B21 , O1]. Il se révèle délicat d'ajuster les masses lors d'une intégration globale du système solaire. En laissant les masses à leurs valeurs standard, et en négligeant l'effet de la rotation propre des corps (et dans l'état actuel, perfectible, du programme d'intégration), j'obtiens un écart maximum de 3''7 sur le 20ème siècle (trouvé pour la longitude de Mercure [B21 , O1], donc directement comparable aux fameuses 43''), après ajustement sur 1956-2000. La valeur optimale trouvée ainsi pour la vitesse absolue V est d'environ 3 km/s, ce qui n'est pas négligeable. Autrement dit, le fait que la théorie ait un référentiel privilégié ne semble pas rédhibitoire. Ces résultats concernent v1 (cf. point A1.3). L’ajustement des équations de mouvement devrait être repris avec celles correspondant à la deuxième version de la théorie scalaire (voir point A2.2).

A1.5) Schéma post-minkowskien asymptotique et rayonnement quadrupole dans la théorie scalaire 

Les études sur le rayonnement gravitationnel en RG partent généralement d'une linéarisation des équations de la théorie, qui conduit, en jauge harmonique, à la ``formule du quadrupôle". Il n'est pas difficile de procéder à cette linéarisation dans la théorie étudiée, et ainsi d'obtenir l'équivalent de cette formule. Etant donné le haut degré de précision des observations (des intervalles de temps entre les signaux successifs reçus de ``pulsars binaires") et de l'accord trouvé entre celles-ci et le modèle de ``timing" fondé sur cette formule, et même si l'on peut élaborer des justifications de ce modèle en passant par des calculs post-newtoniens menés jusqu'à un ordre suffisamment élevé (comme cela a été fait par l’école parisienne), il semble néanmoins intéressant de disposer d'une justification directe de ce type de calculs.

C'est ce que j'ai tenté de trouver pour la théorie scalaire, en proposant [A34 , B24] un schéma ``post-minkowskien (PM) asymptotique" qui est le pendant, pour les problèmes de rayonnement gravitationnel, du schéma post-newtonien asymptotique construit pour la mécanique céleste ``usuelle" (voir point A1.1). Ce schéma PM consiste donc également à introduire une famille de conditions initiales, définissant une famille de systèmes gravitants constitués de fluides parfaits. La différence essentielle entre les deux schémas est que, dans le schéma PM, la condition initiale pour le champ de vitesses est indépendante du paramètre de force-de-champ , ce qui signifie physiquement qu'il n'est pas nécessaire que la vitesse des corps soit négligeable devant c. (Ce schéma PM est donc simplement plus général que le schéma PN correspondant.)  A cause de cela, les développements par rapport au petit paramètre  sont effectués à une valeur constante du temps ``vrai" t (i.e. le temps exprimé en unités fixes) et non plus à une valeur constante du temps ``dynamique" t’ =  t du schéma PN. Il en résulte que le développement de l'équation du champ scalaire conduit à des équations d'ondes contenant le d'alembertien. Dans cette théorie qui dispose d'une véritable loi de conservation de l'énergie, la variation de l'énergie totale contenue dans un domaine incluant le système considéré, supposé isolé, s'exprime sans ambiguïté par un flux d'énergie gravitationnelle sortant de ce domaine. Le développement 0PM de ce flux dépend du potentiel retardé, solution de l'équation d'ondes concernée (développement à l'ordre 0 de l'équation du champ gravitationnel). La limite à l'infini de ce développement du flux ne dépend que de la dérivée temporelle troisième du tenseur quadrupolaire, comme c'est le cas en RG dans la jauge harmonique - et ce résultat est vrai même si le centre de masse du système n'est pas au repos dans le référentiel privilégié : il n’y a donc pas d’effet de ce référentiel en ce qui concerne la perte d’énergie par rayonnement gravitationnel [A34].

Parce que le schéma PM est plus général que le schéma PN, on peut utiliser ce résultat pour calculer une approximation du taux de l'énergie newtonienne du système [A34, B24]. Ceci permet [A34] de calculer les ``coefficients de Peters-Mathews" de la théorie scalaire. Ceux-ci n'ont pas les mêmes valeurs qu'en RG, mais donnent un taux de perte d'énergie, et donc une diminution de la période orbitale, ayant le même ordre de grandeur qu'en RG - si l'on prend pour les paramètres orbitaux et les masses des valeurs voisines de celles trouvées avec le modèle de ``timing" fondé sur la RG. Or, la seule donnée observationnelle d'un tel modèle est la liste des instants de réception des signaux émis par le pulsar. Je pense donc que l'on ne peut préjuger des valeurs exactes des paramètres qui seraient trouvées par ajustement de ces données, non sur le modèle de timing fondé sur la RG, mais sur un modèle de timing reposant entièrement sur la théorie scalaire. Ainsi, au stade actuel, on peut dire que la théorie scalaire prédit une diminution de la période orbitale d'un pulsar binaire ayant le même ordre de grandeur qu'en RG - contrairement à presque toutes les théories alternatives, sauf celles qui sont une extension de la RG - mais on ignore si les données des pulsars peuvent être ajustées avec la même précision qu'en RG. Là encore, ceci s’applique à v1 (voir point A2.2).

A1.6) Schéma post-newtonien asymptotique et mécanique céleste de la relativité générale 

Après avoir mis en œuvre le schéma PN asymptotique pour la théorie alternative scalaire (point A1.1) jusqu’à l’obtention des équations de mouvement des centres de masse (EMCM) explicites, j’ai observé la présence de paramètres de structure dans ces équations (point A1.2). Cette présence semblait presque inéluctable, indépendamment de la théorie considérée, dans le cadre de ce schéma. En effet, la forme générale des EMCM (plus précisément, de leur composante post-newtonienne) n’est qu’une somme d’intégrales des champs, notamment des champs matière, dans le volume du corps considéré. Chacune de ces intégrales fait intervenir la structure d’une manière spécifique, par la combinaison de ces champs qui définit l’intégrande. Il faudrait donc un ``miracle’’ pour que l’on obtienne finalement un résultat indépendant de la structure du corps. Pourtant, les équations utilisées pour la mécanique céleste de la RG, qui sont les équations de Lorentz-Droste (dites aussi d’Einstein-Infeld-Hoffmann), et qui correspondent au modèle monopôle dans l’approche par les multipôles (cf. point A1.2), ne contiennent aucun paramètre de structure. Même l’approximation monopôle-dipôle ne fait intervenir que la vitesse de rotation propre, qui n’est pas vraiment un paramètre de structure, et de plus le terme correspondant joue un rôle négligeable dans le système solaire. Il semblait donc important de pousser le développement du schéma de Futamase & Schutz jusqu’à l’obtention des EMCM explicites, pour voir si le schéma PN asymptotique implique l’intervention de la structure des corps aussi en RG, et je l’ai fait récemment [A36].

J’ai d’abord montré, en utilisant le changement d’unités que j’ai proposé, que les développements de la métrique et du tenseur énergie-impulsion effectués dans le livre classique de Weinberg (1972), ainsi que ses équations développées, s’appliquent naturellement à la famille de systèmes gravitants introduite par Futamase & Schutz, qui définit la limite newtonienne. (Toutefois, les équations explicites obtenues pour un fluide parfait sont différentes de celles écrites par Weinberg, qui rejoint à ce stade le schéma standard de Chandrasekhar dans lequel les champs matière ne sont pas développés.) Ensuite, en utilisant exactement la même méthode que pour la théorie scalaire (point A1.2), j’ai obtenu d’abord la forme générale des EMCM puis une expression explicite, incluant les termes jusqu’à 3 inclus. Il se trouve que l’on peut grouper les parties newtonienne et post-newtonienne de ces équations explicites, ce qui permet de les comparer avec les équations de Lorentz-Droste : dans l’accélération que j’obtiens, il y a un terme supplémentaire, dépendant de la structure interne et de la vitesse de rotation propre du corps considéré – et ce terme ne semble pas négligeable pour les planètes géantes. Les centres de masse sont définis à partir de la densité de masse-au-repos (dans le référentiel utilisé), voir dans rap2004 pour la justification de ce choix. En lui-même, il ne peut entraîner que des différences très petites et non-séculaires sur les trajectoires, par rapport au choix plus usuel incluant l’énergie interne et les énergies newtoniennes cinétique et potentielle propres [A36].

A2) Théorie scalaire de la gravitation avec un référentiel privilégié

A2.1) Motivation et résumé des travaux antérieurs

Mes motivations propres ont été présentées dans rap2004, cf. aussi [O2]. Je souhaite juste rappeler que la présence d’un référentiel privilégié est reconnue, par ex. par Butterfield et Isham, comme une possibilité pour résoudre les problèmes à l’interface entre gravitation et théorie quantique, et singulièrement pour résoudre le ``problème du temps’’ [en gros : la théorie quantique a besoin d’un temps privilégié, en quelque sorte indépendant des processus physiques (ce n’est pas un opérateur, par exemple), alors que la RG fournit une infinité de coordonnées temporelles interchangeables]. Certes, cette possibilité n’est pas celle que ces auteurs privilégient, mais c’en est une qui fournirait une solution simple si l’on savait résoudre la difficulté qui saute aux yeux : celle de construire une théorie de la gravitation avec un référentiel privilégié et qui s’accorde avec les observations. J’ai passé en revue les autres tentatives qui ont été faites récemment dans ce sens [O2]. Il en ressort d’abord que ces tentatives sont assez nombreuses : je peux citer une dizaine de groupes d’auteurs ``académiques’’ différents, actifs dans les quinze dernières années (mais, semble-t-il, aucun en France, si l’on m’excepte). Mises à part deux théories qui sont des extensions de la RG (Schmelzer et Jacobson), la plupart de ces tentatives n’aboutissent pas à une théorie complète. En outre, seuls Jacobson et coll. proposent des calculs post-newtoniens au-delà d’une particule d’épreuve dans un champ statique : ils ont calculé les paramètres ``PPN’’ [i.e. ceux du schéma post-newtonien (standard), paramétrisé pour décrire dans un cadre unique l’écart avec la RG des théories alternatives du type ``métrique’’]. 

Dans la partie précédente de ce rapport, on a vu que le développement de calculs asymptotiques post-newtoniens et post-minkowskiens a permis, pour la première version de la théorie scalaire que j’étudie, d’expliquer les effets gravitationnels sur les rayons lumineux ; de retrouver la théorie newtonienne comme première approximation, dans un cadre rigoureux ; de reproduire l’éphéméride standard du système solaire principal avec un écart encourageant – compte-tenu du fait que c’est sur les observations directes qu’il faudrait en fait ajuster les paramètres ; et de montrer qu’un système isolé pert de l’énergie par rayonnement gravitationnel de la même façon qu’en RG, ce qui autorise à espérer que les données des pulsars binaires puissent être correctement interprétées. (Dans rap2004, j’ai présenté d’autres aspects de cette théorie scalaire, par ex. concernant la cosmologie et aussi l’électromagnétisme dans un champ gravitationnel selon cette théorie.) Et l’on a vu aussi que cette première version v1 était invalidée par la violation de l’universalité de la gravitation prédite pour un corps arbitrairement petit mais gravitationnellement actif. Dès que j’ai été certain de cette invalidation, j’ai tenté de modifier la théorie pour résoudre ce problème. Il se trouve qu’il y a une bifurcation assez tôt dans la construction de cette théorie et que j’avais initialement suivi la mauvaise branche (point suivant).

A2.2) Lien entre l’isotropie spatiale et l’universalité de la chute libre 

La théorie scalaire étudiée part d’une interprétation de la force de gravitation comme la poussée d’Archimède due à la présence d’un gradient macroscopique de pression dans un fluide imaginé (``éther’’). Ces raisonnements semi-heuristiques ont récemment été repris, et comparés avec l’interprétation d’Euler de la gravitation newtonienne [O3]. L’étape suivante dans la construction de la théorie consiste à postuler une correspondance entre les effets métriques de la gravitation et ceux du mouvement uniforme. Cette correspondance qui, elle aussi, a été rediscutée dans [O3], se traduit par l’hypothèse que, dans un champ de gravitation, les horloges sont ralenties et les étalons de longueur sont contractés, les deux dans le rapport
 
 = e / e < 1,

où e est la valeur locale du champ scalaire (``densité d’éther’’) et e est sa valeur loin des corps (à l’infini, pour un système isolé). Mais la contraction spatiale peut a priori avoir lieu, soit dans une seule direction (qui ne peut être que la direction commune du gradient de densité local et de l'attraction g), soit dans toutes les directions uniformément (de façon infinitésimale autour du point considéré). Dans v1, j’avais fait le premier choix, pour lequel la similitude avec la contraction de Lorentz est maximale, et aussi parce que ce choix anisotrope conduisait exactement, dans le cas statique sphérique, à la métrique spatio-temporelle de Schwarzschild – qui me semblait à ce moment-là constituer le cœur du succès observationnel de la RG. Mais v1 doit être rejetée à cause de la violation de l’universalité de la gravitation qu’elle prédit, on l’a vu au point A1.3. Et c’est précisément l’anisotropie de la métrique spatiale, avec g comme direction privilégiée, qui conduit à cette violation [A33, B23] : en effet c’est elle qui entraîne la présence des dérivées spatiales U,i dans la métrique, voir A1.3. Il était donc clair qu’il fallait tenter de construire une nouvelle version avec une contraction spatiale localement isotrope. Ceci fixait la relation entre le coefficient de dilatation temporelle  et la métrique spatiale g [O3], en donnant à la métrique d’espace-temps de la théorie scalaire (dans le référentiel privilégié) la forme postulée par Ni, puis par Podlaha & Sjödin et tout récemment par Broekaert. 

La formulation de la dynamique dans la théorie, fondée sur une extension de la deuxième loi de Newton, n’avait pas à subir de modification. Cette dynamique s’étend à un milieu continu. La composante temporelle de l’équation obtenue ainsi (dynamique d’un milieu continu) exprime le bilan d’énergie dans cette théorie. L’équation dynamique est influencée par la métrique, et donc par le champ gravitationnel scalaire qui détermine celle-ci. Donc, si l’on veut pouvoir réécrire le bilan d’énergie (la composante temporelle de l’équation dynamique) comme une équation de conservation de l’énergie, cette possibilité dépendra de l’équation gouvernant le champ gravitationnel scalaire. Les considérations semi-heuristiques (incluant la contrainte de retrouver la théorie de Newton pour un ``éther’’ incompressible) permettent d’écrire une forme générale, encore assez malléable, de cette équation du champ scalaire [O3]. Ceci permet d’espérer a priori que l’on pourra imposer cette autre contrainte, de conservation de l’énergie. C’est bien ce qui se produit si l’on prend comme champ scalaire le logarithme  du coefficient de dilatation temporelle  et qu’on postule pour  une équation de Poisson avec le d’alembertien (plat) au lieu du laplacien. L’équation obtenue n’est pas la seule qui donne lieu à une conservation de l’énergie, mais on y est conduit naturellement et c’est assurément la plus simple [A35]. La version v2 est ainsi fixée.

Le schéma asymptotique post-newtonien (point A1.1 et rap2004) s’adapte sans difficulté à v2 : comme V  c2  obéit à l’équation de Poisson usuelle, au terme temporel près qui doit s’effacer à la limite newtonienne, c’est un équivalent naturel du potentiel newtonien ; à ceci près, les conditions initiales définissant la limite newtonienne sont inchangées. On vérifie que v2 est indistinguable de la RG en coordonnées harmoniques en ce qui concerne les effets post-newtoniens sur les rayons lumineux, qui sont donc correctement prédits [A35]. Les équations de mouvement des centres de masse sont bien sûr différentes de celles de v1. Leur limite ``particule ponctuelle’’ vérifie, cette fois [A35], l’universalité de la chute libre – conformément à ce qui était attendu. L’équation du champ scalaire étant encore une équation d’ondes, et cette fois avec le d’alembertien linéaire du cas ``plat’’, il est très vraisemblable que la perte d’énergie par rayonnement gravitationnel aura, comme dans v1, la même structure qu’en RG.